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DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION.
Si le système est isolé, 
dépendra seulement de 
sera une forme quadratique homogène par rapport à 
dont les coefficients dépendent seulement de
On aura alors l’équation
où 
est une constante ; c’est l’intégrale des aires.
Cela posé, soit 
l’action hamiltonienne
on aura, si les équations du mouvement sont satisfaites,
![{\displaystyle \delta \mathrm {J} =\left[\sum {\frac {d\mathrm {T} }{dx_{i}'}}\,\delta x_{i}+{\frac {d\mathrm {T} }{d\omega '}}\,\delta \omega \right]_{t=t_{0}}^{t=t_{1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70c7b4c8c5bf4a95b74573073c8f3d7781437eeb)
L’action sera minimum (ou plutôt sa première variation sera
nulle) si les valeurs initiales et finales des 
et de 
sont regardées
comme données, c’est-à-dire si 
pour 
et
pour 
Supposons maintenant que nous regardions comme données les
valeurs initiales et finales des 
mais pas celles de 
nous
aurons
![{\displaystyle \delta \mathrm {J} ={\big [}p\,\delta \omega {\big ]}_{t=t_{0}}^{t=t_{1}}=p\,{\big [}\delta \omega {\big ]}_{t=t_{0}}^{t=t_{1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73117a6d8b9dc87a9785569bbb3415b1435b74c9)
Soit alors
et
il viendra évidemment
De l’équation on tire qui est une fonction linéaire
non homogène des 
on voit ainsi que 
est une fonction
quadratique non homogène par rapport aux 
est donc de la forme 
étudiée au no 338.
Ainsi l’intégrale 
sera minimum, alors même que les valeurs
initiale et finale de w ne sont pas regardées comme données.
