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CHAPITRE XXII.

J’observe d’abord que la quantité sous le signe $\textstyle \int$

$\mathrm {F} (dx_{1},\,dx_{2},\,\ldots ,\,dx_{n})$

est un infiniment petit du premier ordre, puisque $dx_{1},$ $dx_{2},\,\ldots ,$ $dx_{n}$ sont des infiniment petits du premier ordre et que $\mathrm {F}$ est homogène du premier ordre par rapport à ces quantités.

L’intégrale simple (3) est donc finie.

Cela posé, supposons d’abord que la figure $\mathrm {F} _{0}$ se réduise à une ligne infiniment petite, dont les extrémités aient pour coordonnées

$x_{1},\quad x_{2},\quad \ldots ,\quad x_{n},$

$x_{1}+\xi _{1},\quad x_{2}+\xi _{2},\quad \ldots ,\quad x_{n}+\xi _{n}.$

L’intégrale (3) se réduira à un seul élément et sera par conséquent égale à

$\mathrm {F} (\xi _{1},\,\xi _{2},\,\ldots ,\,\xi _{n}).$

Cette expression étant une intégrale des équations (2) demeurera constante et aura même valeur pour la ligne $\mathrm {F} _{0}$ et pour la ligne $\mathrm {F} .$

Si maintenant la ligne $\mathrm {F} _{0}$ et par conséquent la ligne $\mathrm {F}$ sont finies, nous décomposerons la ligne $\mathrm {F} _{0}$ en parties infiniment petites. L’intégrale (3), étendue à l’une de ces parties infiniment petites de $\mathrm {F} _{0},$ sera égale à l’intégrale (3), étendue à la partie infiniment petite correspondante de $\mathrm {F} .$ L’intégrale étendue à la ligne $\mathrm {F} _{0}$ tout entière sera égale à l’intégrale étendue à la ligne $\mathrm {F}$ tout entière.

Donc l’intégrale (3) est un invariant intégral. C. Q. F. D.

Réciproquement, supposons que (3) soit un invariant intégral du premier ordre, je dis que

$\mathrm {F} (\xi _{1},\,\xi _{2},\,\ldots ,\,\xi _{n}).$

sera une intégrale des équations (2).

En effet, l’intégrale (3) doit être la même pour la ligne $\mathrm {F} _{0}$ et pour la ligne $\mathrm {F} ,$ quelles que soient ces lignes, et en particulier, si $\mathrm {F} _{0}$ se réduit à un élément infiniment petit dont les extrémités ont pour coordonnées

$x_{i}$  et $x_{i}+\xi _{i}.$