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INVARIANTS INTÉGRAUX.

L’intégrale (3) se réduit alors, comme nous l’avons vu, à

(4)

$\mathrm {F} (\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{n}),$

Comme l’intégrale est un invariant, cette expression (4) doit être constante.

C’est donc une intégrale des équations (2). C. Q. F. D.

Ainsi, à chaque invariant intégral du premier ordre des équations (1) correspond une intégrale des équations (2) et réciproquement.

243.Voyons maintenant à quoi correspondent les invariants d’ordre supérieur au premier.

Considérons deux solutions particulières quelconques des équations (2) ; soient

(5)

$\left\{{\begin{aligned}\xi _{1},\quad \xi _{2}&,\quad \ldots ,\quad \xi _{n},\\\xi _{1}',\quad \xi _{2}'&,\quad \ldots ,\quad \xi _{n}',\\\end{aligned}}\right.$

ces deux solutions.

Il peut exister des fonctions

$\mathrm {F} (x_{i},\xi _{i},\xi _{i}')$

qui dépendent à la fois des $x_{i},$ des $\xi _{i}$ et des $\xi _{i}',$ et qui, quelles que soient les deux solutions choisies, se réduisent à des constantes indépendantes du temps.

En d’autres termes, la fonction $\mathrm {F}$ sera une intégrale du système

(6)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\xi _{k}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {X} _{k}}{dx_{1}}}\xi _{1}+{\frac {d\mathrm {X} _{k}}{dx_{2}}}\xi _{2}+\ldots +{\frac {d\mathrm {X} _{k}}{dx_{n}}}\xi _{n},\\{\frac {d\xi _{k}'}{dt}}&={\frac {d\mathrm {X} _{k}}{dx_{1}}}\xi _{1}'+{\frac {d\mathrm {X} _{k}}{dx_{2}}}\xi _{2}'+\ldots +{\frac {d\mathrm {X} _{k}}{dx_{n}}}\xi _{n}',\\\end{aligned}}\right.$

auquel satisfont les $\xi _{i}$ et les $\xi _{i}'.$

Faisons une hypothèse plus particulière et supposons que $\mathrm {F}$ soit de la forme

${\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\left(\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}'\right),$

les $\mathrm {A} _{ik}$ étant fonctions des $x$ seulement.

Je dis alors que l’intégrale double

$\mathrm {J} =\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{ik}\,dx_{i}\,dx_{k}$

est un invariant intégral des équations (1).