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CHAPITRE XXIX.

que cette courbe fermée corresponde à une solution périodique instable de la première catégorie.

356.Cette condition est-elle suffisante ? Pour nous en rendre compte, étudions les solutions asymptotiques correspondant à une pareille solution périodique instable.

Soient

${\begin{aligned}x&=\varphi _{0}(t),&y&=\psi _{0}(t)\end{aligned}}$

les équations de la solution périodique et

${\begin{aligned}x&=\varphi _{0}(t)+\mathrm {A} e^{\alpha t}\varphi _{1}(t)+\mathrm {A} ^{2}e^{2\alpha t}\varphi _{2}(t)+\ldots ,\\y&=\psi _{0}(t)+\mathrm {A} e^{\alpha t}\psi _{1}(t)+\mathrm {A} ^{2}e^{2\alpha t}\psi _{2}(t)+\ldots \end{aligned}}$

celles des solutions asymptotiques. Les fonctions $\varphi _{i}(t)$ et $\psi _{i}(t)$ seront des fonctions périodiques de $t.$ Nous pourrons aussi écrire, en posant $\mathrm {A} e^{\alpha t}=u,$

${\begin{aligned}x&=\varphi _{0}(t)+u\varphi _{1}(t)+\ldots =\Phi (t,u),\\y&=\psi _{0}(t)+u\psi _{1}(t)+\ldots =\Psi (t,u).\end{aligned}}$

Si $u$ est suffisamment petit, $x$ et $y$ seront des fonctions uniformes de $t$ et de $u,$ périodiques par rapport à $t$ de période $2\pi .$

De plus, le déterminant fonctionnel

${\frac {\partial (x,y)}{\partial (t,u)}}={\frac {d\Phi }{dt}}{\frac {d\Psi }{du}}-{\frac {d\Psi }{dt}}{\frac {d\Phi }{du}}$

ne s’annulera pas. En effet, pour $u=0,$ ce déterminant se réduit à

$\varphi _{0}'(t)\psi _{1}(t)-\psi _{0}'\varphi _{1}(t).$

Or cette expression n’est autre chose que l’expression

$\xi _{1}\eta _{2}-\xi _{2}\eta 1$

du n^o 345 divisée par $e^{\alpha t}.$ Elle ne s’annulera donc pas si la solution instable est de la première catégorie.

Donc, le déterminant fonctionnel, ne s’annulant pas pour $u=0,$ ne s’annulera pas non plus pour $u$ suffisamment petit.

Donc, si $u$ est suffisamment petit, $u,$ $\cos t$ et $\sin t$ seront des fonctions uniformes de $x$ et de $y.$

Les équations des solutions asymptotiques s’écrivent

(1)

$\left\{{\begin{aligned}x&=\Phi (t,\mathrm {A} e^{\alpha t})\\y&=\Psi (t,\mathrm {A} e^{\alpha t})\end{aligned}}\right.$