Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/318

306

CHAPITRE XXX.

dépasser 4 en valeur absolue et, par conséquent, si le dénominateur de $n$ est plus grand que 4, $[\Theta _{2}]$ sera identiquement nul et la condition (9 bis) sera remplie d’elle-même ; la constante $\varpi$ demeurera indéterminée.

Si le dénominateur de $n$ est égal à 2 ou à 4, la condition (9 bis) déterminera $\varpi .$

Si le dénominateur de $n$ est égal à 3, la constante $\varpi$ a déjà été déterminée par la condition (9) et la condition (9 bis) nous servira à déterminer la constante $\gamma _{1}'.$

Calculons dans $\Theta _{2}$ les termes qui dépendent de cette constante $\gamma _{1}'.$

Nous trouverons évidemment

$\gamma _{1}'\left({\frac {d\Theta _{1}}{d\xi _{0}'}}e^{i(nt+\varpi )}-{\frac {d\Theta _{1}}{d\eta _{0}'}}e^{-i(nt+\varpi )}\right).$

c’est-à-dire

${\frac {\gamma _{1}'}{i{\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}}}\,{\frac {d\Theta _{1}}{d\varpi }}\cdot$

La valeur moyenne en sera

${\frac {\gamma _{1}'}{i{\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}}}\,{\frac {d[\Theta _{1}]}{d\varpi }}\cdot$

La condition (9 bis) peut donc s’écrire ${\Bigg \{}$ si l’on observe que $-n\left[{\frac {d^{2}\Theta _{1}}{d\eta _{0}\,d\varpi }}\right]={\frac {d^{2}[\Theta _{1}]}{d\varpi ^{2}}}{\Bigg \}}$

${\frac {\gamma _{1}'}{i{\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}}}\,{\frac {d^{2}[\Theta _{1}]}{d\varpi ^{2}}}+\mathrm {H} =0,$

$\mathrm {H}$ dépendant de $\varpi ,$ mais pas de $\gamma _{1}'.$

Si le dénominateur de $n$ n’est pas égal à 3, $[\Theta _{1}]$ est nul et la condition (9 bis) est indépendante de $\gamma _{1}'.$ Si donc ce dénominateur est égal à 2 ou à 4, l’équation (9 bis) dépendra de $\varpi$ et non de $\gamma _{1}'$ et déterminera $\varpi .$

Si le dénominateur est égal à 3, la condition (9 bis) dépend de $\gamma _{1}',$ et déterminera $\gamma _{1}'$ (elle donnerait d’ailleurs $\gamma _{1}'=0$).

En tout cas, ayant ainsi déterminé $\xi _{2},$ cherchons à calculer $\eta _{2}$ à l’aide de la seconde équation (5). Nous disposerons de $\lambda _{2}$ de façon que le second membre ait sa valeur moyenne nulle.