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CHAPITRE XXII.

deux invariants intégraux du premier ordre ; je suppose, ce qui est le cas le plus général, que $\mathrm {F} _{1}$ et $\mathrm {F} _{2}$ sont des fonctions linéaires et homogènes des différentielles $dx_{i}.$

Les expressions

$\mathrm {F} _{1}(\xi _{i}),\quad \mathrm {F} _{2}(\xi _{i})$

seront homogènes et du premier ordre par rapport aux $\xi _{i}$ et ce seront des intégrales des équations (2).

De même

$\mathrm {F} _{1}(\xi _{i}'),\quad \mathrm {F} _{2}(\xi _{i}')$

seront des intégrales des équations (6).

Il en résulte que

(10)

$\mathrm {F} _{1}(\xi _{i})\mathrm {F} _{2}(\xi _{k}')-\mathrm {F} _{1}(\xi _{k})\mathrm {F} _{2}(\xi _{i}')$

sera une intégrale du système (6).

Comme $\mathrm {F} _{1}$ et $\mathrm {F} _{2}$ sont linéaires par rapport aux $\xi _{i},$ on aura

${\begin{aligned}\mathrm {F} _{1}(\xi _{i}+\xi _{i}')&=\mathrm {F} _{1}(\xi _{i})+\mathrm {F} _{1}(\xi _{i}')\,;&\mathrm {F} _{2}(\xi _{i}+\xi _{i}')&=\mathrm {F} _{2}(\xi _{i})+\mathrm {F} _{2}(\xi _{i}').\end{aligned}}$

Il en résulte que l’expression (10), qui d’ailleurs change de signe quand on permute les $\xi _{i}$ et les $\xi _{i}',$ ne change pas quand on change $\xi _{i}$ en $\xi _{i}+\xi _{i}'.$

Nous en conclurons que cette expression (10) est une fonction linéaire et homogène des déterminants

$\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}',$

les coefficients dépendant des $x$ seulement, mais non des $\xi$ et des $\xi '.$

De cette expression (10) on pourra donc déduire un invariant intégral du deuxième ordre des équations (1).

Soient maintenant

$\int \mathrm {F} _{1}(dx_{i}),\quad \int \mathrm {F} _{2}(dx_{i}\,dx_{k})$

deux invariants intégraux des équations (1), le premier du premier ordre et le second du deuxième ordre. Je supposerai que $\mathrm {F} _{1}$ et $\mathrm {F} _{2}$ sont des fonctions linéaires et homogènes, la première par rapport aux $n$ différentielles $dx_{i},$ la seconde par rapport aux ${\frac {n(n-1)}{2}}$ produits produits

$dx_{i}\,dx_{k}.$