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PROPRIÉTÉS DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.

Les équations canoniques admettent l’intégrale

$x_{2}+2x_{1}=k,$

d’où

$\mathrm {F} '={\frac {2}{(k-x_{1})^{2}}}+{\frac {k}{2}}-{\frac {3x_{1}}{2}}+\mu (a+bx_{1}+cx_{1}\cos \omega ).$

Avec l’approximation adoptée, nous pouvons remplacer $a,\,b,\,c$ par

$a_{0}-2x_{1}a_{0}',\quad b_{0},\quad c_{0},$

en désignant par $a_{0},\,a_{0}',\,b_{0},\,c_{0}$ ce que deviennent $a,$ ${\frac {da}{dx_{2}}},$ $b,\,c$ quand on y remplace $x_{2}$ par $k.$

Ainsi

$\alpha =a_{0},\quad \beta =b_{0}-2a_{0}',\quad \gamma =c_{0}$

désignent des constantes dépendant de $k$ et nous avons

$\mathrm {F} '={\frac {2}{(k-x_{1})^{2}}}+{\frac {k}{2}}-{\frac {3x_{1}}{2}}+\mu (\alpha +\beta x_{1}+\gamma x_{1}\cos \omega ).$

Regardons $k$ comme une constante ; ${\sqrt {{\overset {}{x}}_{1}}}\cos {\frac {\omega }{2}},$ ${\sqrt {{\overset {}{x}}_{1}}}\sin {\frac {\omega }{2}}$ comme les coordonnées rectangulaires d’un point dans un plan et construisons la courbe

$\mathrm {F} '=\mathrm {C} ,$

$\mathrm {C}$ désignant une seconde constante.

Cette courbe dépend ainsi des deux constantes $k$ et $\mathrm {C} .$ Si elle présente un point double, ce point- double correspondra à une solution périodique, qui sera stable si les deux tangentes au point double sont imaginaires, et instable si les deux tangentes sont réelles.

Observons que la courbe est symétrique par rapport aux deux axes de coordonnées et que deux points doubles symétriques l’un de l’autre par rapport à l’origine ne correspondent pas à deux solutions périodiques véritablement distinctes.

Les points doubles ne peuvent se trouver que sur l’un des axes de coordonnées, de telle sorte qu’on les trouvera tous en faisant

$\omega =0,\quad \omega =\pi .$

Si l’on fait

$\mathrm {C} ={\frac {2}{k^{2}}}+{\frac {k}{2}}+\mu \alpha ,$