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SOLUTIONS DOUBLEMENT ASYMPTOTIQUES.

car ${\frac {d\mathrm {F} _{2}}{dx_{2}}}$ ne peut devenir infini que pour $x_{2}=0,$ d’où il suit que $y_{2}$ est toujours croissant, sauf pour $x_{2}$ très petit.

Soit $\mathrm {M}$ un point $\mathrm {X,\,Y,\,Z} ,$ tel que $y_{2}=0\,;$ il se trouvera sur le demi-plan

$\mathrm {Y} =0,\quad \mathrm {X} >0.$

Quand $x_{1},$ $x_{2},$ $y_{1},$ $y_{2}$ varieront conformément aux équations différentielles, le point $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ décrira une certaine trajectoire ; quand $y_{2}$ qui croît constamment atteindra la valeur $2\pi ,$ le point $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ venu en $\mathrm {M} _{1},$ se trouvera de nouveau sur le demi-plan $\mathrm {Y} =0,$ $\mathrm {X} >0.$

Le point $\mathrm {M} _{1}$ est alors le conséquent de $\mathrm {M} ,$ d’après la définition du n^o 305. Comme $y_{2}$ est toujours croissant, tout point du demi-plan a un conséquent et un antécédent ; il n’y a exception que pour $\mathrm {X} _{2}$ très petit, c’est-à-dire pour les points du demi-plan qui sont très éloignés de l’origine ou très voisins de l’axe des $\mathrm {Z} .$

Nous aurons un invariant intégral au sens du n^o 305 ; cherchons à former cet invariant.

Les équations étant canoniques admettent l’invariant intégral

$\int dx_{1}\,dx_{2}\,dy_{1}\,dy_{2}.$

Posons $z={\frac {x_{2}}{x_{1}}}$ et prenons pour variables nouvelles $\mathrm {F} ',$ $z,$ $y_{1},\,y_{2}\,;$ l’invariant deviendra

$-\int {\frac {x_{1}^{2}\,d\mathrm {F} '\,dz\,dy_{1}\,dy_{2}}{x_{1}{\dfrac {d\mathrm {F} '}{dx_{1}}}+x_{2}{\dfrac {d\mathrm {F} '}{dx_{2}}}}}=\int {\frac {x_{1}^{2}\,d\mathrm {F} '\,dz\,dy_{1}\,dy_{2}}{x_{1}n_{1}+x_{2}n_{2}}}\cdot$

De cet invariant quadruple nous déduirons $($à cause de l’existence de l’intégrale $\mathrm {F} '=\mathrm {C} )$ l’invariant triple

$\int {\frac {x_{1}^{2}\,dz\,dy_{1}\,dy_{2}}{x_{1}n_{1}+x_{2}n_{2}}}\cdot$

Dans cette intégrale triple $x_{1},$ $x_{2},$ $n_{1}=-{\frac {d\mathrm {F} '}{dx_{1}}},$ $n_{2}=-{\frac {d\mathrm {F} '}{dx_{2}}}$ sont supposés remplacés en fonctions de $z,$ $y_{1},$ $y_{2}$ à l’aide des équations

${\begin{aligned}x_{2}&=x_{1}z,&\mathrm {F} '&=\mathrm {C} .\end{aligned}}$

Prenons maintenant pour variables $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ et appelons $\Delta$ le