Il arrive ainsi aux remarquables propositions suivantes :
De l’hypothèse que par un point donné l’on peut mener à une droite une infinité de parallèles il s’ensuit, si l’on exclut l’axiome d’Archimède, NON PAS que la somme des angles d’un triangle est plus petite que deux droits, mais au contraire que cette somme peut être
Pour démontrer le cas (a) de ce théorème, M. Dehn édifie une Géométrie où l’on peut mener par un point une infinité de parallèles une droite et où, d’ailleurs, sont aussi vérifiés tous les théorèmes de la Géométrie riemannienne (elliptique). À cette Géométrie convient le nom de Géométrie non legendrienne, car elle est en contradiction avec le théorème de Legendre en vertu duquel la somme des angles d’un triangle n’est jamais plus grande que 2 droits. De l’existence de cette Géométrie non legendrienne il résulte immédiatement qu’il est impossible de démontrer le précédent théorème de Legendre sans employer l’axiome d’Archimède ; et, en effet, Legendre se sert de la continuité pour démontrer son théorème.
Pour démontrer le cas (b) du théorème précité, on édifie une Géométrie sans axiome des parallèles et où sont néanmoins vérifiés tous les théorèmes de la Géométrie euclidienne la somme des angles d’un triangle est égale à deux droits, il y a des triangles semblables, les extrémités de perpendiculaires de même longueur menées à une droite sont toutes situées sur la même droite, etc. De l’existence de cette Géométrie s’ensuit que, si l’on fait abstraction de l’axiome d’Archimède, l’axiome des parallèles ne peut être remplacé par aucune des propositions que l’on regarde d’habitude comme lui étant équivalentes.
Cette nouvelle Géométrie peut être dite une Géométrie semi-euclidienne. De même que la Géométrie non legendrienne, il est clair que la Géométrie semi-euclidienne est en même temps une Géométrie non archimédienne.
M. Dehn arrive finalement à ce théorème surprenant
De l’hypothèse qu’il n’existe aucune parallèle, il s’ensuit que la somme des angles d’un triangle est plus grande que deux droits.
