Ce théorème montre que les deux hypothèses non euclidiennes sur les parallèles se comportent d’une manière absolument différente vis-à-vis de l’axiome d’Archimède.
On peut réunir les résultats énoncés par les théorèmes précédents dans le Tableau suivant
| La somme des angles d’un triangle est |
Par un point donné l’on peut mener à une droite | ||
| aucune parallèle. | une parallèle. | une infinité de parallèles. | |
| > 2 droits | Géométrie de Riemann (elliptique) | Cas impossible | Géométrie non legendrienne |
| < 2 droits | Cas impossible | Géométrie euclidienne (parabolique) | Géométrie semi-euclidienne |
| = 2 droits | Cas impossible | Cas impossible | Géométrie de Lobatschewski (hyperbolique) |
Maintenant mon présent Travail, comme je l’ai déjà dit, est plutôt une recherche critique sur tes principes de la Géométrie euclidienne. Dans cette recherche nous avons eu pour guide ce principe fondamental faire la discussion de chaque question qui se présente de manière à examiner en même temps s’il est possible ou non de répondre à cette question en suivant une voie assignée d’avance et en se servant de certains moyens limités. Ce principe fondamental me semble contenir une règle générale et conforme à la nature des choses. En effet, lorsque dans nos recherches mathématiques nous rencontrons un problème ou lorsque nous soupçonnons un théorème, notre esprit n’est satisfait que lorsque nous possédons la solution complète du problème et la démonstration rigoureuse du théorème, ou bien lorsque nous connaissons bien clairement la raison de l’impossibilité de la réussite et, par suite, aussi celle de la nécessité de l’insuccès.
