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§ 11.

Indépendance des axiomes de congruence.

Nous reconnaîtrons l’indépendance des axiomes de congruence en démontrant que l’axiome IV, 6, ou encore, car cela revient au même, que le premier théorème de congruence des triangles, c’est-à-dire le théorème X, ne peut être déduit des axiomes restant au moyen de raisonnements logiques.

Nous choisirons encore comme éléments de la nouvelle Géométrie de l’espace les points, droites et plans de la Géométrie ordinaire ; nous définirons aussi le déplacement des angles comme dans la Géométrie ordinaire ainsi qu’il a été exposé au § 9, par exemple. Mais au contraire, le transport des segments, nous le définirons d’une autre façon. Soient deux points $A_{1}{\text{ , }}A_{2}$ qui, dans la Géométrie ordinaire, ont pour coordonnées $x_{1},y_{1},z_{1}{\text{ et }}x_{2},y_{2},z_{2}$ nous nommerons alors longueur du segment $A_{1}A_{2}$ la valeur positive de l’expression

${\sqrt {(x_{1}-x_{2}+y_{1}-y_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}}}$

et nous dirons alors que deux segments quelconques $A_{1}A_{2}$ et $A'_{1}A'_{2}$ sont congruents lorsqu’ils ont même longueur au sens que l’on vient de définir.

Il est clair que dans la Géométrie de l’espace, ainsi définie, les axiomes I, II, III, IV, 1-2, 4-5, V sont vérifiés.

Pour démontrer qu’il en est de même de l’axiome IV, 3 prenons une droite quelconque a et sur cette droite trois points $A_{1},A_{2},A_{3}$ tels que $A_{2}$ soit situé entre $A_{1}{\text{ et }}A_{3}$. Supposons les points x, y, z de la droite a donnés par les équations

$x=\lambda t+\lambda '$,

$y=\mu t+\mu '$,

$z=\nu t+\nu '$,

où $\lambda ,\lambda ',\mu ,\mu ',\nu ,\nu '$ désignent certaines constantes et t un paramètre. Si $t_{1}{\text{ ,}}t_{2}{\text{ , }}t_{3}{\text{ : }}[t_{2}<t_{1}{\text{ ; }}t_{3}<t_{2}{\text{ }}]$ sont les valeurs du paramètre qui corres-