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pondent aux points $A_{1},A_{2},A_{3}$ nous aurons pour longueurs des trois segments $A_{1}A_{2},A_{2}A_{3}\ {\text{et}}\ A_{1}A_{3}$ les expressions respectives

$(t_{1}-t_{2})\left|{\sqrt {(\lambda +\mu )^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}}}\right|$,

$(t_{2}-t_{3})\left|{\sqrt {(\lambda +\mu )^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}}}\right|$,

$(t_{1}-t_{3})\left|{\sqrt {(\lambda +\mu )^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}}}\right|$,

et par suite la somme des longueurs des segments $A_{1}A_{2}$ et $A_{2}A_{3}$ égale à la longueur du segment $A_{1}A_{2}$. Or ce fait est précisément condition pour que l’axiome IV, 3 soit vérifié.

Mais l’axiome IV, 6 ou plutôt le premier théorème de congruence des triangles n’est pas toujours vérifié dans cette Géométrie.

Considérons, en effet, dans le plan z = 0 les quatre points

O	ayant pour coordonnées……	$x=0$,	$y=0$,
A	______»______»	$x=1$,	$y=0$,
B	______»______»	$x=0$,	$y=1$,
C	______»______»	$x={\tfrac {1}{2}}$,	$x={\tfrac {1}{2}}$.

Dans les deux triangles (rectangles) OAC et OBC (fig. 15) les angles en C et les côtés BC et AC sont respectivement congruents

puisque le côté OC est commun et que les segments AC et BC ont pour même longueur ½. Au contraire, les troisièmes côtés OA et OB ont pour longueurs respectives 1 et ${\sqrt {2}}$ et, par suite, ne sont pas congruents.

Il ne serait pas difficile d’ailleurs de trouver, dans cette Géométrie, deux triangles pour lesquels l’axiome IV, 6 lui-même ne serait pas vérifié.