définir, la loi associative
Pour définir géométriquement le produit d’un segment a par un segment b, nous emploierons la construction suivante : Nous choisirons d’abord un segment quelconque qui restera le même dans toute cette théorie, et nous le désignerons par i. Sur le côté d’un angle droit nous porterons, à partir du sommet O (fig. 21), d’abord le segment
i, puis le segment b ; sur l’autre côté de l’angle nous porterons, à partir de O, le segment a ; joignons alors les extrémités des segments i et a par une droite ; à celle-ci nous mènerons ensuite une parallèle par l’extrémité de b ; cette parallèle déterminera sur l’autre côté de l’angle un segment c ; ce segment c nous le nommerons le produit du segment a par le segment b, et nous écrirons
Avant tout, nous allons démontrer que, dans la multiplication des segments telle que l’on vient de la définir, la loi commutative
est toujours vérifiée. À cet effet, construisons d’abord de la manière que l’on vient de décrire le segment ab (fig. 22). Portons ensuite, à partir du point O sur le premier côté de l’angle droit, le segment a, et sur le second le segment b. Joignons alors l’extrémité de i à l'extrémité de b, située sur l’autre côté de l’angle droit, par une droite, et
