Page:Hilbert - Les Principes fondamentaux de la géométrie, 1900, trad. Laugel.djvu/63

Mais de même pour chaque $\bigtriangleup$ la décomposition en $\bigtriangleup _{t}$, est réductible à des décompositions transversales. En effet, considérons un triangle $\bigtriangleup _{k}$ parmi les transversales issues de A du triangle $\bigtriangleup$, il en est une qui tombera sur un côté de ou bien partagera ce triangle $\bigtriangleup _{k}$ en deux triangles. Dans le premier cas le côté en question du triangle $\bigtriangleup _{k}$ n’a pas de points de division dans la décomposition en triangles $\bigtriangleup _{ts}$ ; dans le second cas, le segment de cette transversale traversant l'intérieur du triangle $\bigtriangleup _{k}$ est, pour les deux triangles qui prennent ainsi naissance, un côté qui dans la décomposition en triangtes $\bigtriangleup _{ts}$ n’aura certainement pas de points de division.

Or, d’après les considérations exposées au commencement de cette démonstration, la mesure de l’aire $F(\bigtriangleup )$ du triangle $\bigtriangleup$ est égale a la somme des mesures des aires $F(\bigtriangleup _{k})$ des triangles $\bigtriangleup _{k}$, et cette somme est elle-même égale a la somme de toutes les mesures des aires $F(\bigtriangleup _{ts})$. D’autre part, la somme des mesures des aires $F(\bigtriangleup _{k})$ de tous les triangles est égale à la somme de toutes les mesures des aires $F(\bigtriangleup _{ts})$, d’où résulte en fin de compte que la mesure de l’aire $F(\bigtriangleup )$ est aussi égale a la somme des mesures des aires $F(\bigtriangleup _{k})$. Le théorème XXIX est donc complètement démontre.

Définition. — Si l’on définit la mesure de l’aire F(P) d’un polygone, comme la somme des mesures des aires de tous les triangles en lesquels ce polygone est décompose au moyen d’une décomposition déterminée, on reconnait, en s’appuyant sur le théorème XXIX et au moyen d’un raisonnement analogue à celui dont il a été fait usage au § 18 dans la démonstration du théorème XXIV, que la mesure de l’aire d’un polygone est indépendante du mode de décomposition en triangles, et par conséquent est déterminée d’une manière univoque uniquement par le polygone. De cette définition, nous concluons, en vertu du théorème XXIX, la proposition que les polygones égaux par addition ont même mesure d'aire.

Enfin, si l’on désigne par P et Q deux polygones égaux par soustraction, il existera, en vertu de leur définition même, deux polygones égaux par addition P’ et Q’, tels que le polygone composé de P et P’ soit égal par addition au polygone composé de Q et Q’. Des deux équations

$F(P+P')=F(Q+Q'),F(P')=F(Q')$