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on conclut aisément

F(P) = F(Q),

C’est-à-dire que : les polygones égaux par soustraction ont même mesure d’aire.

De cette dernière proposition l'on tire évidemment la démonstration du théorème XXVIII. En effet, si l’on désigne la base égale des deux triangles par g, les hauteurs correspondantes par h et h’, de l’égalité par soustraction des deux triangles l’on conclut qu’ils doivent nécessairement avoir même mesure d’aire, d’où

${\tfrac {1}{2}}gf\,=\,{\tfrac {1}{2}}gh'$,

et après division par ${\tfrac {1}{2}}g$

$h\,=\,h'$

c’est ce que dit le théorème XXVIII.

§ 21.

L’égalité par soustraction et la mesure des aires.

Au § 20, nous avons trouvé que les polygones égaux par soustraction ont toujours nécessairement même mesure d’aire. La réciproque est vraie.

Pour démontrer cette réciproque, considérons d’abord deux triangles ABC, et A'B'C' (fig. 34), ayant un angle droit commun en A.

Les mesures des aires de ces triangles s’expriment par les formules

F(ABC) = ${\tfrac {1}{2}}$ AB.AC,______F(AB'C') = ${\tfrac {1}{2}}$ AB'.AC'.