Avec ces conventions, les axiomes IV, 1-5 et V sont également vérifiés.
Pour voir que, dans cette nouvelle Géométrie, le théorème de Desargues n’est pas vérifié, considérons, dans le plan XY, les trois droites ordinaires suivantes l’axe X, l’axe Y et la droite qui joint les deux points de l’ellipse
Comme ces trois droites ordinaires passent par l’origine O, nous pouvons aisément assigner deux triangles dont les sommets soient respectivement situés sur ces trois droites, dont les côtés homologues soient parallèles, et qui soient tous trois situés à l’extérieur de l’ellipse. Les chemins qui dérivent des trois droites en question, ainsi que le montre la fig. 38, et comme on s’en assure également par un
calcul facile, ne se rencontrant pas en un même point, il s’ensuit que le théorème de Desargues n’est pas vérifié dans notre nouvelle Géométrie pour les deux triangles que l’on a construits précédemment.
Cette Géométrie plane, que l’on vient de construire, peut également servir d’exemple d’une Géométrie plane où les axiomes I, 1-2 ; II ; III ; IV, 1-5 ; V sont tous vérifiés, et qui, cependant, NE PEUT PAS être regardée comme faisant partie d’une Géométrie de l’espace.
