sargues, il est toujours possible, conformément aux § 24-28, d’introduire dans cette Géométrie un calcul segmentaire où les régies 1-11, 13-16 du § 13 sont applicables. Nous allons maintenant regarder l’ensemble de ces segments comme un système numérique complexe et au moyen de celui-ci nous édifierons, conformément aux développements du § 29, une Géométrie de l’espace où les axiomes I, II, III sont tous valables.
Dans cette Géométrie de l’espace, si nous considérons exclusivement les points (x, y, O) et les droites sur lesquelles il n’y a pas d’autres points que ceux-là, nous serons en présence d’une Géométrie plane, et si nous nous reportons à la proposition établie dans le § 27, il est clair que cette Géométrie plane doit coïncider exactement avec la Géométrie plane proposée au début. Nous arrivons de la sorte au Théorème suivant qui doit être regardé comme le terme final de l’ensemble des développements de ce Chapitre V :
Théorème XXXV. — Dans une Géométrie plane, supposons que les axiomes 1, 1-2 ; II ; III soient vérifiés : alors l’exactitude du théorème de Desargues est la condition nécessaire et suffisante pour que cette Géométrie plane puisse être regardée comme étant une partie d’une Géométrie de l’espace où les axiomes I, II, III sont tous vérifiés.
Ainsi le théorème de Desargues peut être caractérisé pour la Géométrie plane comme étant pour ainsi dire le résultat de l’élimination des axiomes spatiaux.
Les résultats obtenus nous permettent de reconnaitre que toute Géométrie de l’espace, où les axiomes I, II, III sont tous vérifiés, peut toujours être regardée comme une partie d’une «Géométrie a un nombre quelconque de dimensions». Par Géométrie à un nombre quelconque de dimensions l’on doit ici entendre un ensemble de points, droites, plans et autres éléments linéaires, pour lesquels les axiomes correspondants de l’association et de la distribution, ainsi que l’axiome des parallèles, sont vérifiés.
