CHAPITRE VI.
LE THÉORÈME DE PASCAL.
§ 31.
Deux théorèmes sur la possibilité de démontrer le théorème de Pascal.
L’on sait que le théorème de Desargues (théorème XXXII) peut être démontre au moyen des axiomes I, II, III, c’est-à-dire en faisant essentiellement usage des axiomes spatiaux ; dans le § 23, j’ai démontré qu’il est impossible de démontrer ce théorème sans invoquer les axiomes spatiaux du groupe I et sans les axiomes de la congruence IV, quand bien même l’on ferait usage de l’axiome d’Archimède.
Dans le § 14 nous avons déduit le théorème de Pascal (théorème XXI) et par conséquent aussi, conformément au § 22, celui de Desargues, des axiomes I, 1, 2 ; II-IV, c’est-à-dire en excluant les axiomes spatiaux et en s’appuyant essentiellement sur les axiomes de la congruence. Il se présente donc la question suivante : Le théorème de Pascal peut-il être démontré sans invoquer les axiomes de la congruence ? Notre étude va nous montrer qu’à ce point de vue le théorème de Pascal se comporte d’une manière tout autre que le théorème de Desargues. En effet, l’adoption ou le rejet de l’axiome d’Archimède dans la démonstration du théorème de Pascal est la pierre de touche de l’exactitude de cette proposition. Nous réunirons les résultats essentiels de nos recherches dans les deux théorèmes suivants :
Théorème XXXVI. — Le théorème de Pascal (théorème XXI) peut être démontré en se basant sur les axiomes I, II, III, V, c’est-à-dire en laissant de côté les axiomes de la congruence, et en invoquant l’axiome d’Archimède.
Théorème XXXVII. — Le théorème de Pascal (théorème XXI) est impossible à démontrer en se basant sur les axiomes I, II, III, c’est-à-dire
