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en laissant de côté non seulement les axiomes de la congfuence mais encore celui d’Archimède.

Dans l’énoncé de ces deux théorèmes, l’on peut, en vertu du théorème XXXV, remplacer les axiomes spatiaux I, 3-7 par la condition planaire que le théorème de Desargues (théorème XXXII) soit vérifié.

§ 32.

La loi commutative de la multiplication dans un système numérique archimédien.

Les démonstrations des théorèmes XXXVI et XXXVII reposent essentiellement sur certaines relations mutuelles relatives aux règles de calcul et aux propositions fondamentales de l’Arithmétique et qui d’ailleurs, en elles-mêmes, présentent un grand intérêt. Énonçons d’abord les deux propositions suivantes

Théorème XXXVIII. — Dans un système numérique archimédien la loi commutative de la multiplication est une conséquence nécessaire des autres règles de calcul ; c’est-à-dire qu’un système numérique possédant les propriétés 1-11, 13-17 énumérées au § 13, il s’ensuit nécessairement que ce système vérifie aussi la formule 12.

Démonstration. — Remarquons d’abord ceci : Si l’on désigne par a un nombre quelconque du système numérique et par

$n=1+1+\ldots +1$

un nombre entier rationnel positif, a et n vérifieront toujours la loi commutative de la multiplication. En effet

${\begin{aligned}an=a(1+1+\ldots +1)&=a.1+a.1+\ldots +a.1\\&=a+a+\ldots +a\end{aligned}}$

et

${\begin{aligned}na=(1+1+\ldots +1)a&=1.a+1.a+\ldots +1.a\\&=a+a+\ldots +a\end{aligned}}$

Supposons maintenant que, contrairement à notre affirmation, a, b soient deux nombres du système numérique pour lesquels la loi com-