la loi commutative de la multiplication de deux segments n’est pas autre chose que le théorème de Pascal. On reconnaît ainsi l’exactitude du théorème XXXVI.
Pour démontrer le théorème XXXVII, considérons le système numérique de Desargues introduit au § 33 et construisons & l’aide de ce système, de la manière décrite au § 29, une Géométrie de l’espace, ou les axiomes I, II, III sont tous vérifiés. Mais le théorème de Pascal ne sera pas vérifie dans cette Géométrie, car la loi commutative de la multiplication n’a pas lieu dans le système numérique de Desargues . La Géométrie « non pascalienne » ainsi édifiée est nécessairement, aussi, en vertu du théorème XXXVI démontré a l’instant, une Géométrie « non archimédienne ».
Il est évident qu’en adoptant les hypothèses que nous avons faites, on ne peut pas non plus démontrer le théorème de Pascal, quand on regarde la Géométrie de l’espace comme étant une partie d’une Géométrie à un nombre quelconque de dimensions, où à côté des points, droites et plans se présentent encore d’autres éléments linéaires pour lesquels il y a un système correspondant d’axiomes d’association et de distribution joint a l’axiome des parallèles.
§ 35.
De la démonstration d’un théorème quelconque relatif à des points d’intersection au moyen des théorèmes de Pascal et de Desargues.
Toute proposition relative à des points d’intersection dans le plan a nécessairement la forme suivante : On choisit d’abord un système de points et de droites arbitraires satisfaisant respectivement à la condition que certains points soient sur certaines droites. Quand on construit alors de la manière connue les droites de jonction et les points d’intersection, on finit par obtenir un système de trois droites dont le théorème nous dit qu’elles se rencontrent en un même point.
Supposons maintenant qu’on donne une Géométrie plane où les axiomes I, 1-2, II-V soient tous vérifiés ; nous pouvons alors, d’après le Chapitre III, § 17, au moyen de deux axes rectangulaires, faire cor-
