d’où l’on tire
![{\displaystyle a={\frac {\int t^{2}d\mathrm {T} -\int u^{2}d\mathrm {U} }{4{\sqrt {m}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63b887986505dff87d978a7f0804645f28199cfc)
Connaissant ainsi les valeurs des cinq quantités
il n’y aura plus qu’à les substituer dans l’équation
et l’on aura
![{\displaystyle z={\frac {\int t^{2}d\mathrm {T} -2t\int td\mathrm {T} +t^{2}\mathrm {T} }{4{\sqrt {m}}}}-{\frac {\int u^{2}d\mathrm {U} -2u\int ud\mathrm {U} +u^{2}\mathrm {U} }{4{\sqrt {m}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8d67dfdfc2b9589e2149c4dc2d402e7957a0363)
ce qui se réduit à cette forme plus simple
![{\displaystyle z={\frac {\int dt\int \mathrm {T} dt-\int du\int \mathrm {U} du}{2{\sqrt {m}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b06db985a59725775b58774cef8227053185311)
or,
étant une fonction quelconque de
ou
et
une fonction quelconque de
ou
il est visible que
et
seront aussi des fonctions quelconques des mêmes quantités. De sorte qu’on aura, en général,
![{\displaystyle z=\Phi \left(x+y{\sqrt {m}}\right)+\Psi \left(x-y{\sqrt {m}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82ed738d91c0e880716586c4a99e6050b10f6c66)
ce qui s’accorde avec ce que l’on sait depuis longtemps.
Au reste on voit par cet Exemple, qui est d’ailleurs un des plus simples, que la méthode dont il s’agit, quoique directe et générale, est en quelque façon plus curieuse qu’utile, à cause des difficultés qui peuvent se rencontrer dans l’intégration des équations de condition ; c’est pourquoi nous ne nous arrêterons pas davantage sur ce sujet.
66. Il est beaucoup plus aisé de tirer l’intégrale générale aux premières différences de l’intégrale complète du premier ordre. Car nous avons vu (60) que, si
est l’intégrale complète du premier ordre de l’équation du second ordre
il suffit qu’il y ait dans l’équation
deux constantes arbitraires
et
et il est facile de prouver que cette équation satisfera également à l’équation
en y regardant