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et $b$ comme des variables, pourvu que l’on ait

${\frac {d\mathrm {Z} }{da}}da+{\frac {d\mathrm {Z} }{db}}db=0\,;$

de sorte qu’en faisant, en général,

$b=\varphi (a),$

on n’aura que cette seule équation de condition

${\frac {d\mathrm {Z} }{da}}+{\frac {d\mathrm {Z} }{db}}\varphi '(a)=0,$

laquelle servira à éliminer $a$ dans l’équation $\mathrm {Z} =0$ ; et la résultante contenant une fonction arbitraire sera nécessairement l’intégrale générale aux différences premières de la proposée $\mathrm {Z} '=0\,;$ il n’y a, comme l’on voit, aucune difficulté dans l’application de cette méthode.

L’équation

${\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}-\mathrm {A} {\frac {d^{2}z}{dxdy}}+\mathrm {B} {\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}=0$

a pour intégrale complète du premier ordre

${\frac {dz}{dy}}-m{\frac {dz}{dx}}=a+b(x+ny),$

comme on l’a vu plus haut (60). Pour en déduire l’intégrale générale on fera donc varier $a$ et $b,$ ce qui donnera

$da+(x+ny)db=0\,;$

et faisant $b=\varphi (a)$ on aura

$1+(x+ny)\varphi '(a)=0,$

d’où l’on voit que

$\varphi '(a)=-{\frac {1}{x+ny}},$

donc $a$ est égale à une fonction de $x+ny,$ et par conséquent $b$ est aussi