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égal à une fonction de $x+ny\,;$ donc aussi $a+(x+ny)b$ est égal à une fonction de $x+ny,$ que je dénoterai par $\Phi (x+ny)\,;$ et il est visible que cette fonction pourra être quelconque. Ainsi l’intégrale générale du premier ordre sera

${\frac {dz}{dy}}-m{\frac {dz}{dx}}=\Phi (x+ny).$

De plus on a vu que la même équation a aussi pour intégrale complet du premier ordre

${\frac {dz}{dy}}-n{\frac {dz}{dx}}=h+g(x+my)\,;$

d’où l’on tirera, par un procédé semblable au précédent, la nouvelle intégrale générale

${\frac {dz}{dy}}-n{\frac {dz}{dx}}=\Psi (x+ny),$

la caractéristique $\Psi$ dénotant aussi une fonction quelconque.

Maintenant de même que dans l’endroit cité on a tiré l’intégrale finie complète des deux intégrales complètes du premier ordre, de même aussi pourra-t-on déduire des deux intégrales générales du premier ordre qu’on vient de trouver l’intégrale générale finie de l’équation proposée du second ordre.

En effet on a d’abord, en éliminant ${\frac {dz}{dy}},$

$(n-m){\frac {dz}{dx}}=\Phi (x+ny)-\Psi (x+my)\,;$

multipliant par $dx$ et intégrant relativement à $x,$ on aura

$(n-m)z=^{\text{‵}}\!\Phi (x+ny)-^{\text{‵}}\!\Psi (x+my)+\mathrm {Y} .$

$\mathrm {Y}$ dénote une fonction quelconque de $y$, et les caractéristiques $^{\text{‵}}\Phi ,^{\text{‵}}\!\Psi$ dénotent les intégrales des fonctions exprimées par les $\Phi ,\Psi .$ En éliminant de même la quantité ${\frac {dz}{dx}},$ on a

$(n-m){\frac {dz}{dy}}=n\Phi (x+ny)-m\Psi (x+my),$