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comme il est facile de s’en assurer par la substitution de cette valeur de $z.$

J’aurai par la différentiation

${\frac {dz}{dx}}=b-g{\frac {y}{x^{2}}}-h{\frac {y^{2}}{x^{2}}},\quad {\frac {dz}{dy}}=c+{\frac {g}{x}}+{\frac {2hy}{x}},$

d’où l’on tire cette combinaison

$x{\frac {dz}{dx}}+y{\frac {dz}{dy}}=bx+cy+h{\frac {y^{2}}{x}},$

et, retranchant cette équation de la précédente, j’aurai celle-ci

$z-x{\frac {dz}{dx}}-y{\frac {dz}{dy}}=a+g{\frac {y}{x}},$

laquelle ne contenant plus que deux arbitraires sera par conséquent l’intégrale complète du premier ordre de la proposée.

On pourra donc tirer de celle-ci l’intégrale générale du premier ordre, laquelle sera

$z-x{\frac {dz}{dx}}-y{\frac {dz}{dy}}=\varphi \left({\frac {y}{x}}\right).$

Je remarque de plus que l’on a

${\frac {dz}{dx}}+{\frac {y}{x}}{\frac {dz}{dy}}=b+c{\frac {y}{x}}+h{\frac {y^{2}}{x^{2}}},$

et que cette équation est telle, que les trois arbitraires qu’elle renferme peuvent être éliminées à la fois au moyen de ses deux différentielles

${\begin{aligned}&{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+{\frac {y}{x}}{\frac {d^{2}z}{dxdy}}-{\frac {y}{x^{2}}}{\frac {dz}{dy}}=-{\frac {cy}{x^{2}}}-{\frac {2hy^{2}}{x^{3}}},\\&{\frac {d^{2}z}{dxdy}}+{\frac {y}{x}}{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {dz}{dy}}\ \ \,={\frac {c}{x}}+{\frac {2hy}{x^{2}}}\,;\end{aligned}}$

car, en ajoutant ces deux équations-ci ensemble après avoir multiplié la