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seconde par ${\frac {y}{z}},$ on a

${\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+{\frac {2y}{x}}{\frac {d^{2}z}{dxdy}}+{\frac {y^{2}}{x^{2}}}{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}=0,$

qui est l’équation même proposée.

De là il s’ensuit donc que l’équation dont il s’agit sera aussi une intégrale complète du premier ordre, et même on y pourra pour plus de simplicité supposer égale à zéro une quelconque des trois arbitraires qu’elle renferme.

On aura donc de cette manière cette nouvelle intégrale complète

${\frac {dz}{dx}}+{\frac {y}{x}}{\frac {dz}{dy}}=b+c{\frac {y}{x}},$

d’où l’on tirera aussi une nouvelle intégrale générale du premier ordre, laquelle sera

${\frac {dz}{dx}}+{\frac {y}{x}}{\frac {dz}{dy}}=\psi \left({\frac {y}{x}}\right).$

Au moyen de cette intégrale et de la précédente on pourra avoir sur-le-champ l’intégrale générale finie ; car multipliant la dernière par $x$ et l’ajoutant à la première on aura

$z=\varphi \left({\frac {y}{x}}\right)+x\psi \left({\frac {y}{x}}\right),$

$\varphi \left({\frac {y}{x}}\right)$ et $\psi \left({\frac {y}{x}}\right)$ étant deux fonctions arbitraires de ${\frac {y}{x}}.$

70. Nous nous dispenserons d’examiner les équations à différences partielles des ordres plus élevés, comme aussi celles où il y aurait plus de trois variables ; l’application des principes que nous venons d’établir à ces sortes d’équations ne doit pas être difficile à présent, et d’ailleurs ce Mémoire n’est déjà que trop long.