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pour les triangles sphériques ; mais il sera encore plus simple et plus direct de s’y prendre de la manière suivante.

3. Dans le triangle sphérique $\mathrm {ALB}$ on a, comme on sait,

$\cos \psi =-\sin \omega \sin \xi \cos s+\cos \omega \cos \xi ,$

et de même

$\cos \xi =\sin \omega \sin \psi \cos z+\cos \omega \cos \psi ,$

donc, différentiant la première de ces deux équations en y supposant $\xi$ et $\omega$ constants et faisant

$ds=-pdt,$

on aura

$d\cos \psi =-\sin \omega \sin \xi \sin s\times pdt\,;$

différentiant ensuite la seconde équation en $y$supposant $\psi$ et $\omega$ constants et faisant

$dz=-qdt,$

on aura

$d\cos \xi =\sin \omega \sin \psi \sin z\times qdt.$

On a de plus dans le même triangle

$\cos(y-x)={\frac {\cos \omega -\cos \xi \cos \psi }{\sin \xi \sin \psi }}.$

Donc, supposant en premier lieu $x,\xi$ et $\omega$ constants et faisant varier $\psi$ et $y,$ on aura

$-\sin(y-x)dy={\frac {\cos \xi -\cos \omega \cos \psi }{\sin \xi \sin ^{2}\psi }}d\psi ,$

et supposant en second lieu $y,\psi$ et $\omega$ constants et faisant varier $\xi$ et $x,$

$\sin(y-x)dx={\frac {\cos \psi -\cos \omega \cos \xi }{\sin \psi \sin ^{2}\xi }}d\xi .$

Or on a par la propriété connue des sinus

$\sin(y-x)dx={\frac {\sin \omega \sin s}{\sin \psi }}={\frac {\sin \omega \sin z}{\sin \xi }}\,;$