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5. Ayant maintenant une équation finie entre les cosinus des angles $\xi$ et $\psi ,$ et connaissant d’ailleurs le troisième angle $\omega$ qui est supposé donné, on pourra réduire toutes les autres variables du Problème à une seule.

En effet on aura (3)

$\cos s={\frac {\cos \omega \cos \xi -\cos \psi }{\sin \omega \sin \xi }},$

mais (4)

$\cos \psi ={\frac {\mu -p\cos \xi }{q}},$

donc

$\cos s={\frac {(p+q\cos \omega )\cos \xi -\mu }{q\sin \omega \sin \xi }},$

de là, en faisant, pour abréger,

$q^{2}\sin ^{2}\omega -\mu ^{2}=a,\quad \mu (p+q\cos \omega )=b,\quad p^{2}+2pq\cos \omega +q^{2}=n^{2},$

on aura

$\sin s={\frac {\sqrt {a+2b\cos \xi -n^{2}\cos ^{2}\xi }}{q\sin \omega \sin \xi }}\,;$

substituant donc cette valeur, on aura, par les équations du n^o 3,

$-{\frac {d\xi }{dt}}={\frac {\sqrt {a+2b\cos \xi -n^{2}\cos ^{2}\xi }}{\sin \xi }},$

et faisant $cos\xi =u,$

$dt={\frac {du}{\sqrt {a+2bu-n^{2}u^{2}}}}\,;$

d’où l’on tire par l’intégration

$nt+\alpha =\operatorname {arc} \,\cos {\frac {n\left(u-{\cfrac {b}{n^{2}}}\right)}{\sqrt {a+{\cfrac {b^{2}}{n^{2}}}}}},$

$\alpha$ étant une constante arbitraire.

Mais on a

$an^{2}+b^{2}=q^{2}\sin ^{2}\omega \left(n^{2}-\mu ^{2}\right)\,;$