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donc

$nt+\alpha =\operatorname {arc} \cos {\frac {n^{2}\cos \xi -\mu (p+q\cos \omega }{q\sin \omega {\sqrt {n^{2}-\mu ^{2}}}}}\,;$

par conséquent

$\cos \xi ={\frac {\mu (p+q\cos \omega )+q\sin \omega {\sqrt {n^{2}-\mu ^{2}}}\cos(nt+\alpha )}{n^{2}}},$

où

$n^{2}=p^{2}+2pq\cos \omega +q^{2}.$

6. On trouvera de même la valeur de $\cos \psi$ à l’aide des équations du n^o 3 ; mais sans faire pour cela un nouveau calcul, il suffira de changer dans les formules précédentes $p$ en $q,$ $\xi$ en $180^{\circ }-\psi$ et $\mu$ en $-\mu ,$ et vice versâ, et l’on aura

$\cos \psi ={\frac {\mu (q+p\cos \omega )-p\sin \omega {\sqrt {n^{2}-\mu ^{2}}}\cos(nt+\beta )}{n^{2}}},$

$\beta$ étant une nouvelle constante arbitraire qu’on déterminera par la condition que les valeurs de $\cos \xi$ et de $\cos \psi$ doivent satisfaire à l’équation du n^o 4. Substituant donc ces valeurs dans l’équation dont nous venons de parler, elle deviendra, après la destruction de quelques termes,

${\frac {pq\sin \omega {\sqrt {n^{2}-\mu ^{2}}}}{n^{2}}}\left[\cos(nt+\alpha )-\cos(nt+\beta )\right]=0,$

donc

$\cos(nt+\alpha )=\cos(nt+\beta ),$

et par conséquent $\alpha =\beta .$

On aura donc

$\cos \psi ={\frac {\mu (q+p\cos \omega )-p\sin \omega {\sqrt {n^{2}-\mu ^{2}}}\cos(nt+\alpha )}{n^{2}}},$

et les quantités $\alpha$ et $\mu$ seront les deux constantes arbitraires introduites par l’intégration des deux équations différentielles en $\xi$ et $\psi .$

7. Pour déterminer ces deux arbitraires, on supposera que lorsque $t=0$ on ait $\xi =\Xi$ et $\psi =\Psi ,$ et l’on aura d’abord

$\mu =p\cos \Xi +q\cos \Psi ,$