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Au contraire l’angle $s$ croîtra dans ce même cas à l’infini, parce que la valeur de $\operatorname {tang} s$ peut devenir infinie.

En troisième lieu on prouvera de même que si $\operatorname {tang} \mathrm {M} <\operatorname {tang} \mathrm {Q} ,$ abstraction faite des signes, l’arc $x$ croîtra à l’infini, et l’arc $s$ sera renfermé dans les limites déterminées par l’équation

$\operatorname {tang} s=\pm \mathrm {\frac {\sin M}{\sqrt {\sin(Q+M)\sin(Q-M)}}} .$

En quatrième lieu on trouvera des conclusions semblables par rapport aux arcs $y$ et $z,$ suivant que l’on aura $\operatorname {tang} \mathrm {M} >$ ou $<\operatorname {tang} \mathrm {P} ,$ abstraction faite des signes ; il n’y aura pour cela qu’à changer $\mathrm {Q}$ en $\mathrm {P} ,$ $x$ en $y$ et $s$ en $z.$

17. Mais il y a deux cas qui méritent une attention particulière ce sont ceux où $\operatorname {tang} \mathrm {M} =\pm \operatorname {tang} \mathrm {Q}$ ou $=\pm \operatorname {tang} \mathrm {P} .$

1^o Soit $\operatorname {tang} \mathrm {M} =\operatorname {tang} \mathrm {Q} ,$ donc $\mathrm {M=Q} ,$ on aura

$\operatorname {tang} (x-\mathrm {X} )={\frac {\sin(nt+\alpha )}{\cos \mathrm {M} \left[1-\cos(nt+\alpha )\right]}},\ \ \operatorname {tang} s={\frac {\sin(nt+\alpha )}{\cos \mathrm {M} \left[1-\cos(nt+\alpha )\right]}},$

donc

$\operatorname {tang} (x-\mathrm {X} )=\operatorname {tang} s={\frac {1}{\cos \mathrm {M} \operatorname {tang} {\cfrac {nt+\alpha }{2}}}}={\frac {\cot {\cfrac {nt+\alpha }{2}}}{\cos \mathrm {M} }}\,;$

2^o Soit $\operatorname {tang} \mathrm {M} =-\operatorname {tang} \mathrm {Q} ,$ on aura $\mathrm {Q} =180^{\circ }-\mathrm {M} ,$ donc

$\operatorname {tang} (x-\mathrm {X} )={\frac {-\sin(nt+\alpha )}{\cos \mathrm {M} \left[1+\cos(nt+\alpha )\right]}},\ \ \operatorname {tang} s={\frac {\sin(nt+\alpha )}{\cos \mathrm {M} \left[1+\cos(nt+\alpha )\right]}},$

par conséquent

$\operatorname {tang} (x-\mathrm {X} )=-\operatorname {tang} s=-{\frac {\operatorname {tang} {\cfrac {nt+\alpha }{2}}}{\cos \mathrm {M} }}.$

Et il est visible que dans ces deux cas les arcs $x$ et $s$ croîtront à l’infini avec le temps $t.$