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$\beta$ et $\gamma$ demeurant invariables, on aura par la différentiation

$d\cos \alpha =\sin \beta \sin \gamma \sin \mathrm {A} \times adt\,;$

mais

$\cos \mathrm {A} ={\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }},$

d’où l’on tire

$\sin \mathrm {A} ={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma -2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }}{\sin \beta \sin \gamma }}\,;$

donc on aura l’équation différentielle

$d\cos \alpha =adt{\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma -2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }}.$

23. Si l’on imagine de même que le côté $\mathrm {AC}$ opposé à l’angle $\mathrm {B}$ croisse de la quantité $bdt,$ les deux autres angles demeurant constants, il n’y aura qu’à changer dans la formule précédente $\alpha$ en $\beta$ et $a$ en $b\,;$ et si l’on imagine enfin que l’arc $\mathrm {AB}$ opposé au troisième angle $\mathrm {C}$ croisse de la quantité $cdt,$ les deux autres angles demeurant constants, il est clair qu’il n’y aura qu’à mettre dans la formule précédente $\gamma$ et $c$ à la place de $\alpha$ et $a.$

Or il est clair que la quantité qui est sous le signe radical ne change point, quelque permutation qu’on fasse entre les trois quantités $\alpha ,\beta ,\gamma \,;$ d’où il s’ensuit que, si l’on fait pour plus de simplicité

$u={\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma -2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }},$

on aura ces trois équations différentielles

$d\cos \alpha =audt,\quad d\cos \beta =budt,\quad d\cos \gamma =cudt,$

par lesquelles on pourra connaître les valeurs des angles $\alpha ,\beta ,\gamma$ du triangle $\mathrm {ABC}$ au bout d’un temps quelconque $t.$

24. Ainsi, si l’on considère trois planètes $\mathrm {P,Q,R}$ qui se meuvent dans les plans des grands cercles $\mathrm {AB,BC,AC} ,$ faisant entre eux les angles $\alpha ,$