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$\beta ,\gamma ,$ et qu’on suppose que chacune de ces planètes fasse mouvoir, sur le plan de son orbite regardé comme fixe, les nœuds des deux autres planètes sans en affecter les inclinaisons, on aura le cas dont nous venons de parler.

En effet, si l’on désigne par $(\mathrm {P,Q} )dt$ la rétrogradation instantanée de l’orbite de $\mathrm {P}$ sur celle de $\mathrm {Q} ,$ par $(\mathrm {P,R} )dt$ celle de l’orbite de $\mathrm {P}$ sur l’orbite de $\mathrm {R} ,$ par $(\mathrm {Q,P} )dt$ la rétrogradation instantanée de l’orbite de $\mathrm {Q}$ sur celle de $\mathrm {P}$ et ainsi des autres, il est facile de voir qu’on aura

$a=\mathrm {(P,Q)-(R,Q)} ,\quad b=\mathrm {(P,R)-(Q,R)} ,\quad c=\mathrm {(R,P)-(Q,P)} .$

25. Faisons, pour abréger,

$x=\cos \alpha ,\quad y=\cos \beta ,\quad z=\cos \gamma ,$

et l’on aura ces trois équations

$dx=audt,\quad dy=budt,\quad dz=cudt$

où

$u={\sqrt {1-x^{2}-y^{2}-z^{2}-2xyz}}.$

On tire d’abord ces deux-ci

$bdx-ady=0,\quad cdx-adz=o,$

dont l’intégrale est

$br-ay=\mu ,\quad cx-az=\nu ,$

$\mu$ et $\nu$ étant des constantes dépendantes de la position initiale des orbites.

On aura donc ainsi

$y={\frac {bx-\mu }{a}},\quad z={\frac {cx-\nu }{a}}\,;$

donc, substituant ces valeurs dans celle de $u,$ on aura

$au={\sqrt {\mathrm {A} +2\mathrm {B} x-\mathrm {C} x^{2}-2bcx^{3}}},$