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position de l’orbite $\mathrm {LAB}$ qui puisse faire varier l’angle $\mathrm {ALM}$ que nous avons désigné par $\varepsilon .$ Or l’arc $\mathrm {LAB}$ change de position de deux manières : premièrement en rétrogradant sur l’arc $\mathrm {CAM}$ regardé comme immobile, de la quantité $(\mathrm {P,R} )dt,$ et en second lieu en rétrogradant sur l’arc $\mathrm {CBN}$ regardé aussi comme immobile, de la quantité $(\mathrm {P,Q} )dt,$ (24) ; d’où il s’ensuit que dans le triangle $\mathrm {LAM} ,$ l’arc $\mathrm {AM}$ diminuera de $(\mathrm {P,R} )dt,$ les angles $\mathrm {A}$ et $\mathrm {M}$ demeurant constants, et que dans le triangle $\mathrm {BLN}$ l’arc $\mathrm {BN}$ diminuera de $(\mathrm {P,Q} )dt,$ les angles $\mathrm {B}$ et $\mathrm {N}$ étant regardés comme constants.

Donc :

1^o On aura en vertu de la variation $-(\mathrm {P,R} )dt,$ du côté $\mathrm {AM}$ (22)

$d\cos \varepsilon =-(\mathrm {P,R} )dt{\sqrt {1-\cos ^{2}\varepsilon -\cos ^{2}\zeta -\cos ^{\alpha }+2\cos \varepsilon \cos \zeta \cos \alpha }}\,;$

2^o On aura er vertu de la variation $-(\mathrm {P,Q} )dt$ du côté $\mathrm {BN}$

$d\cos \varepsilon =-(\mathrm {P,Q} )dt{\sqrt {1-\cos ^{2}\varepsilon -\cos ^{2}\eta -\cos ^{\beta }+2\cos \varepsilon \cos \eta \cos \beta }}.$

Donc, réunissant ensemble ces deux variations de $\cos \varepsilon ,$ on aura cette équation différentielle

${\begin{aligned}{\frac {d\cos \varepsilon }{dt}}=&-(\mathrm {P,R} )dt{\sqrt {1-\cos ^{2}\varepsilon -\cos ^{2}\zeta -\cos ^{\alpha }+2\cos \varepsilon \cos \zeta \cos \alpha }}\\&-(\mathrm {P,Q} )dt{\sqrt {1-\cos ^{2}\varepsilon -\cos ^{2}\eta -\cos ^{\beta }+2\cos \varepsilon \cos \eta \cos \beta }}.\end{aligned}}$

Et l’on trouvera par des raisonnements semblables ces deux autres-ci

${\begin{aligned}{\frac {d\cos \zeta }{dt}}=&-(\mathrm {R,Q} )dt{\sqrt {1-\cos ^{2}\zeta -\cos ^{2}\eta -\cos ^{\gamma }+2\cos \zeta \cos \eta \cos \gamma }}\\&-(\mathrm {R,P} )dt{\sqrt {1-\cos ^{2}\zeta -\cos ^{2}\varepsilon -\cos ^{\alpha }+2\cos \zeta \cos \varepsilon \cos \alpha }}.\\\\{\frac {d\cos \eta }{dt}}=&+(\mathrm {Q,P} )dt{\sqrt {1-\cos ^{2}\eta -\cos ^{2}\varepsilon -\cos ^{\beta }+2\cos \eta \cos \varepsilon \cos \beta }}\\&+(\mathrm {Q,R} )dt{\sqrt {1-\cos ^{2}\eta -\cos ^{2}\zeta -\cos ^{\gamma }+2\cos \eta \cos \zeta \cos \gamma }}.\end{aligned}}$

Ainsi, comme les quantités $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ sont déjà supposées connues en $t$ (25), on pourra au moyen de ces trois équations déterminer les trois autres quantités $\cos \varepsilon ,\cos \zeta ,\cos \eta .$