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en supposant, pour abréger,

$\mathrm {A} =a^{2}-\mu ^{2}-\nu ^{2},\quad \mathrm {B} =b\mu +c\nu -\mu \nu ,\quad \mathrm {C} =a^{2}+b^{2}-2(b\nu +c\mu )\,;$

substituant donc cette valeur dans la première équation, on aura

$dt={\frac {dx}{\sqrt {\mathrm {A} +2\mathrm {B} x-\mathrm {C} x^{2}-2bcx^{3}}}},$

équation qui étant intégrée donnera $t$ en $x,$ et par conséquent $x$ en $t\,;$ ensuite de quoi on aura aussi $y$ et $z$ en $t\,;$ de sorte que les trois angles, $\alpha ,\beta ,\gamma$ du triangle $\mathrm {ABC}$ seront connus pour chaque instant, et par conséquent tout le triangle $\mathrm {ABC} ,$ qui détermine la position mutuelle des trois orbites.

Mais comme l’équation précédente dépend, en général, de la rectification des sections coniques, on voit que le Problème n’est pas susceptible d’une solution exacte et rigoureuse.

26. L’analyse précédente sert, comme l’on voit, à faire connaître la situation respective des plans des orbites a chaque instant ; mais leur situation absolue restera encore inconnue. Pour la déterminer il faut la rapporter à un plan fixe pris à volonté et que nous supposerons être celui du grand cercle $\mathrm {OLMNR}$ (fig. 5), qui coupe en $\mathrm {L,M,N}$ les arcs $\mathrm {AB,AC,BC}$ prolongés.

grand arc coupant les côtés d’un triangle sphérique

Nommons donc $\varepsilon ,\zeta ,\eta$ les angles $\mathrm {ALM,AMN,BNR} ,$ et considérant d’abord le triangle $\mathrm {ALM} ,$ il est clair qu’il n’y a que le changement de