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En effet, si l’on suppose que les angles $\xi ,\psi ,\zeta$ soient tous très-petits, il est clair que leurs sinus le seront aussi ; donc les quantités $p,p',q,q',$ $r,r'$ seront aussi nécessairement très-petites, en sorte que l’on pourra mettre l’unité à la place des radicaux qui entrent dans les équations dont il s’agit, moyennant quoi on aura, pour le cas de trois orbites mobiles,

${\begin{aligned}dp\ =&(q'-p')(\mathrm {P,Q} )dt+(r'-p')(\mathrm {P,R} )dt,\\dp'=&(p\ -q\ )(\mathrm {P,Q} )dt+(p\ -r\ )(\mathrm {P,R} )dt,\\dq\ =&(p'-q')(\mathrm {Q,P} )dt+(r'-q')(\mathrm {Q,R} )dt,\\dq'=&(q\ -p\ )(\mathrm {Q,P} )dt+(q\ -r\ )(\mathrm {Q,R} )dt,\\dr\ =&(p'-r')(\mathrm {R,P} )dt+(q'-r')(\mathrm {R,Q} )dt,\\dr'=&(r\ -p\ )(\mathrm {R,P} )dt+(r\ -q\ )(\mathrm {R,Q} )dt,\end{aligned}}$

équations qui étant, comme l’on voit, sous une forme linéaire, sont faciles à intégrer par les méthodes connues pour ces sortes d’équations et comme, quel que soit le nombre des orbites mobiles, on parvient toujours par la méthode précédente à de pareilles équations, il s’ensuit qu’on pourra donc, en général, résoudre le Problème proposé pour autant d’orbites mobiles qu’on voudra, pourvu qu’on suppose seulement que ces orbites soient très-peu inclinées à un plan fixe quelconque.

39. Si les inclinaisons n’étaient pas très-petites, on pourrait alors résoudre le Problème par approximation aussi exactement qu’on voudrait ; car, comme les quantités $p,p',q,q',\ldots$ sont toujours naturellement moindres que l’unité, on pourra toujours réduire les radicaux ${\sqrt {1-p^{2}-p'^{2}}},$${\sqrt {1-q^{2}-q'^{2}}},\ldots$ en des séries convergentes dont le premier terme sera l’unité, et les autres procéderont suivant les puissances paires de ces quantités ; de sorte qu’en faisant ces substitutions dans les formules du n^o 37, et négligeant d’abord tous les termes où les variables montent à des dimensions plus hautes que la première, on aura, pour premières équations approchées, des équations telles que celles du n^o 38 ; ainsi l’on aura par l’intégration de ces équations les premières valeurs approchées des quantités $p,p',q,\ldots ,$ et substituant ensuite ces valeurs dans les