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${\begin{aligned}a'=&{\frac {{\cfrac {d\mathrm {Q} }{d\alpha }}y_{0}+{\cfrac {d\mathrm {R} }{d\alpha }}y_{1}+{\cfrac {d\mathrm {S} }{d\alpha }}y_{2}+\ldots }{{\cfrac {1}{2}}{\cfrac {d^{2}\mathrm {P} }{d\alpha ^{2}}}}},\\b'=&{\frac {\mathrm {Q} y_{0}+\mathrm {R} y_{1}+\mathrm {S} y_{2}+\ldots }{{\cfrac {1}{2}}{\cfrac {d^{2}\mathrm {P} }{d\alpha ^{2}}}}}\,;\end{aligned}}$

et si l’on a $\gamma =\beta =\alpha ,$ alors les trois termes

$a\alpha ^{x}+b\beta ^{x}+c\gamma ^{x}$

deviendront

$a''\alpha ^{x}+b''x\alpha ^{x-1}+c''{\frac {x(x-1)}{2}}\alpha ^{x-2},$

où l’on aura

${\begin{aligned}a''=&{\frac {{\cfrac {1}{2}}{\cfrac {d^{2}\mathrm {Q} }{d\alpha ^{2}}}y_{0}+{\cfrac {1}{2}}{\cfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\alpha ^{2}}}y_{1}+{\cfrac {1}{2}}{\cfrac {d^{2}\mathrm {S} }{d\alpha ^{2}}}y_{2}+\ldots }{{\cfrac {1}{2.3}}{\cfrac {d^{3}\mathrm {P} }{d\alpha ^{3}}}}},\\b''=&{\frac {{\cfrac {d\mathrm {Q} }{d\alpha }}y_{0}+{\cfrac {d\mathrm {R} }{d\alpha }}y_{1}+{\cfrac {d\mathrm {S} }{d\alpha }}y_{2}+\ldots }{{\cfrac {1}{2.3}}{\cfrac {d^{3}\mathrm {P} }{d\alpha ^{3}}}}},\\c''=&{\frac {\mathrm {Q} y_{0}+\mathrm {R} y_{1}+\mathrm {S} y_{2}+\ldots }{{\cfrac {1}{2.3}}{\cfrac {d^{3}\mathrm {P} }{d\alpha ^{3}}}}}\,;\end{aligned}}$

et ainsi du reste.

3. Si dans l’équation proposée (A) les coefficients $\mathrm {A,B,C,\ldots ,N} ,$ au lieu d’être constants, sont des fonctions données de $x,$ que nous désignerons par $\mathrm {A} _{x},\mathrm {B} _{x},\mathrm {C} _{x},\ldots ,\mathrm {N} _{x},$ en sorte que l’on ait l’équation

(C)

$\mathrm {A} _{x}y_{x}+\mathrm {B} _{x}y_{x+1}+\mathrm {C} _{x}y_{x+2}+\ldots +\mathrm {N} _{x}y_{x+n}=0,$

on ne pourra, par la méthode précédente ni par aucune autre méthode connue, l’intégrer en général, à moins qu’elle ne soit que du premier ordre ; mais si l’on suppose qu’on connaisse à posteriori $n$ valeurs parti-