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culières de $y_{x},$ que nous désignerons par $\alpha _{x},\beta _{x},\gamma _{x},\ldots ,$ il est visible que l’on aura, en général

$y_{x}=a\alpha _{x}+b\beta _{x}+c\gamma _{x}+\ldots ,$

et que cette expression de $y_{x}$ sera complète, puisqu’elle renferme $n$ constantes arbitraires $a,b,c,\ldots .$

4. De plus on pourra dans ce même cas trouver l’intégrale complète de l’équation

(D)

$\mathrm {A} _{x}y_{x}+\mathrm {B} _{x}y_{x+1}+\mathrm {C} _{x}y_{x+2}+\ldots +\mathrm {N} _{x}y_{x+n}=\mathrm {X} _{x}$

$\mathrm {X} _{x}$ étant une fonction quelconque de $x.$

Car puisque, dans le cas de $\mathrm {X} _{x}=0,$ on a

$y_{x}=a\alpha _{x}+b\beta _{x}+c\gamma _{x}+\ldots$

pour l’intégrale complète, $a,b,c,\ldots$ étant des constantes, supposons maintenant que les quantités $a,b,c,\ldots$ soient, en général, des fonctions de $x$ que nous désignerons par $a_{x},b_{x},c_{x},\ldots ,$ en sorte que l’intégrale de l’équation (D) soit

(E)

$y_{x}=a_{x}\alpha _{x}+b_{x}\beta _{x}+c_{x}\gamma _{x}+\ldots \,;$

faisant varier $x,$ on aura

$y_{x+1}=a_{x+1}\alpha _{x+1}+b_{x+1}\beta _{x+1}+c_{x+1}\gamma _{x+1}+\ldots ,$

ou bien, en désignant par la caractéristique $\Delta$ les différences finies, en sorte que

$\Delta a_{x}=a_{x+1}-a_{x},$

et ainsi des autres,

${\begin{aligned}y_{x+1}=&a_{x}\alpha _{x+1}+b_{x}\beta _{x+1}+c_{x}\gamma _{x+1}+\ldots \\&+\alpha _{x+1}\Delta a_{x}+\beta _{x+1}\Delta b_{x}+\gamma _{x+1}\Delta c_{x}+\ldots .\end{aligned}}$

Donc, si je fais

(1)

$\alpha _{x+1}\Delta a_{x}+\beta _{x+1}\Delta b_{x}+\gamma _{x+1}\Delta c_{x}+\ldots =0,$