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Mémoires de Turin^[1]. M. le Marquis de Condorcet et M. de Laplace avaient déjà remarqué que ce Théorème sur les équations aux différences infiniment petites était aussi applicable aux cas des différences finies ; et ce dernier en a donné une démonstration générale et ingénieuse, mais un peu compliquée (voyez le tome IV des Mémoires de Turin et les Mémoires présentés à l’Académie des Sciences de Paris en 1773). C’est ce qui m’a engagé à traiter ici cette matière par une méthode nouvelle et aussi simple qu’on puisse le désirer.

5. Remarque. — Les principes de la méthode précédenie peuvent s’appliquer aussi aux équations différentielles ordinaires, et sont, en général, d’un très-grand usage dans tout le Calcul intégral. Quoique ce ne soit pas ici le lieu de nous occuper de cette matière, je vais néanmoins en traiter en peu de mots, me réservant de le faire ailleurs avec plus d’étendue.

Et d’abord, si l’on a une équation linéaire de l’ordre $n$ telle que

$\mathrm {P} y+\mathrm {Q} {\frac {dy}{dx}}+\mathrm {R} {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\ldots +\mathrm {V} {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}=\mathrm {X} ,$

où $\mathrm {P,Q,R,\ldots ,V}$ et $\mathrm {X}$ soient des fonctions données de $x,$ et qu’on connaisse l’intégrale complète de cette équation dans le cas de $\mathrm {X} =0,$ laquelle sera nécessairement de la forme

$y=ap+bq+cr+\ldots ,$

$a,b,c,\ldots$ étant des constantes arbitraires au nombre de $n,$ et $p,q,r,\ldots$ des fonctions de $x$ où les constantes $a,b,c,\ldots$ n’entrent pas, et qui sont autant de valeurs particulières de $y$ dans l’hypothèse de $\mathrm {X} =0,$ on en pourra déduire aisément l’intégrale complète de la proposée. Car en regardant les arbitraires $a,b,c,\ldots$ comme des variables indéterminées, et supposant nulles dans les valeurs de $dy,d^{2}y,d^{3}y\ldots d^{n-1}y$ les parties

1. Œuvres de Lagrange, t. I, p. 471.