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qui dépendent de la variabilité de ces quantités $a,b,c,\ldots$ on aura

${\begin{alignedat}{2}dy\ \ =&adp+bdq+cdr+\ldots ,&0=&pda+qdb+rdc+\ldots ,\\d^{2}y=&ad^{2}p+bd^{2}q+cd^{2}r+\ldots ,&0=&dpda+dqdb+drdc+\ldots ,\\d^{3}y=&ad^{3}p+bd^{3}q+cd^{3}r+\ldots ,&0=&d^{2}pda+d^{2}qdb+d^{2}rdc+\ldots ,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\d^{n-1}y=&ad^{n-1}p+bd^{n-1}q+cd^{n-1}r\qquad &0=&d^{n-2}pda+d^{n-2}qdb+d^{n-2}rdc\\&+\ldots ,&&+\ldots ,\end{alignedat}}$

ensuite

$d^{n}y=ad^{n}p+bd^{n}q+cd^{n}r+\ldots +d^{n-1}pda+d^{n-1}qdb+d^{n-1}rdc+\ldots .$

De cette manière on voit que les expressions de $y,dy,d^{2}y,\ldots d^{n-1}y$ ont la même forme que si $a,b,c,\ldots$ étaient constantes, et que celle de $d^{n}y$ ne diffère de ce qu’elle serait dans ce cas que par les termes

$d^{n-1}pda+d^{n-1}qdb+d^{n-1}rdc+\ldots$

qui y sont ajoutés ; or comme dans le cas de $a,b,c,\ldots$ constantes, les valeurs de $y,dy,d^{2}y,\ldots d^{n}y$ satisfont par l’hypothèse à l’équation proposée lorsqu’on y suppose $\mathrm {X} =0,$ quelles que soient d’ailleurs les valeurs de ces constantes, il est aisé de conclure que si l’on substitue dans cette équation les valeurs ci-dessus de $y,dy,d^{2}y,\ldots d^{n}y$ tous les termes s’y détruiront, à l’exception des termes de la valeur de $d^{n}y$ qui dépendent de la variation des quantités $a,b,c,\ldots$ et du terme $\mathrm {X} ,$ qui avait été supposé auparavant nul. De sorte qu’on aura, en divisant par $\mathrm {V} ,$ l’équation

$d^{n-1}pda+d^{n-1}qdb+d^{n-1}rdc+\ldots =\mathrm {\frac {X}{V}} dx^{n}\,;$

et cette équation étant combinée avec les $n-1$ équations de condition

${\begin{aligned}&pda+qdb+rdc+\ldots =0,\\&dpda+dqdb+drdc+\ldots =0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&d^{n-2}pda+d^{n-2}qdb+d^{n-2}rdc+\ldots =0,\end{aligned}}$

on en tirera par les règles ordinaires de l’élimination les valeurs des