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la variabilité des quantités $a,b,c,\ldots$ on aura ces $n-1$ équations de condition

${\begin{aligned}&{\frac {dy}{da}}da+{\frac {dy}{db}}db+{\frac {dy}{dc}}dc+\ldots =0,\\&{\frac {d^{2}y}{dxda}}da+{\frac {d^{2}y}{dxdb}}db+{\frac {d^{2}y}{dxdc}}dc+\ldots =0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&{\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-2}da}}da+{\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-2}db}}db+{\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-2}dc}}dc+\ldots =0,\end{aligned}}$

au moyen desquelles les valeurs de ces différentielles seront encore les mêmes que si $a,b,c,\ldots$ étaient constantes ; de sorte qu’en substituant ces valeurs ainsi que celle de $y$ dans la quantité $\mathrm {P} ,$ on aura encore la même fonction de $x,a,b,c,\ldots$ que dans le cas où les quantités $a,b,c,\ldots$, seraient constantes. Or comme la valeur de ${\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}$ est la même que dans le cas de $a,b,c,\ldots$ constantes, il est clair que celle de $d{\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}$ sera égale à ce qu’elle serait dans le même cas, plus à la variation de ${\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}$ due aux quantités $a,b,c,\ldots$ laquelle est

${\frac {d^{n}y}{dx^{n-1}da}}da+{\frac {d^{n}y}{dx^{n-1}db}}db+{\frac {d^{n}y}{dx^{n-1}dc}}dc+\ldots \,;$

par conséquent, si l’on dénote par $\mathrm {Y} dx$ la première partie de cette valeur, on aura pour la valeur complète de $d{\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}$ la quantité

$\mathrm {Y} dx+{\frac {d^{n}y}{dx^{n-1}da}}da+{\frac {d^{n}y}{dx^{n-1}db}}db+{\frac {d^{n}y}{dx^{n-1}dc}}dc+\ldots ,$

où $\mathrm {Y}$ sera, après les substitutions, la même fonction de $x,a,b,c,\ldots$ que dans le cas de $a,b,c,\ldots$ constantes ; mais dans ce cas on a, par l’hypothèse,

$\mathrm {Y+P} =0$

quelles que soient les valeurs de ces constantes ; donc la même équation aura encore lieu dans le cas où les quantités $a,b,c,\ldots$ ne sont pas