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$n$ différentielles $da,db,dc,\ldots \,;$ et de là on aura par l’intégration celles de $a,b,c,\ldots$ qu’on substituera dans l’expression de $y.$ Ce qui est beaucoup plus simple que tout ce que l’on trouve dans les tomes III et IV des Mémoires de Turin sur cette matière.

En général, si l’on connaît l’intégrale complète d’une équation quelconque de l’ordre $n$ telle que

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+\mathrm {P} =0,$

$\mathrm {P}$ étant une fonction de $x,y,{\frac {dy}{dx}},\ldots ,{\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}},$ on pourra faire servir cette intégrale à trouver celle de l’équation

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+\mathrm {P} =\Pi ,$

$\Pi$ étant aussi une fonction donnée de $x,y,{\frac {dy}{dx}},\ldots ,{\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}.$

Car soit $\mathrm {M} =0$ l’intégrale complète dont il s’agit, $\mathrm {M}$ sera une fonction de $x,y$ et de $n$ constantes arbitraires $a,b,c,\ldots \,;$ en sorte que $y$ sera réciproquement une fonction de $x$ et des mêmes constantes, laquelle satisfera par conséquent à l’équation

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+\mathrm {P} =0,$

quelles que soient les valeurs de ces constantes.

Supposons maintenant que $\mathrm {M} =0$ soit également l’intégrale de l’équation

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+\mathrm {P} =\Pi ,$

mais en y regardant les quantités $a,b,c,\ldots$ comme variables ; dans cette hypothèse, l’expression de $y$ en $x,a,b,c,\ldots$ sera la même que dans le cas de $a,b,c,\ldots$ constantes, mais celles de $dy,d^{2}y,\ldots$, seront diffërentes cependant, si dans les différentiations successives on suppose nulles les parties des différentielles $dy,d^{2}y,\ldots ,d^{n-1}y$ qui résultent de