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Considérions enfin l’équation différentielle séparée

${\frac {dx}{\sqrt {\mathrm {X} }}}={\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {Y} }}},$

dans laquelle

${\begin{aligned}\mathrm {X} &=\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+\mathrm {E} x^{4},\\\mathrm {Y} &=\mathrm {A} +\mathrm {B} y+\mathrm {C} y^{2}+\mathrm {D} y^{3}+\mathrm {E} y^{4}\,;\end{aligned}}$

l’intégrale complète de cette équation est, comme j’ai fait voir ailleurs^[1],

${\sqrt {\mathrm {X} }}+{\sqrt {\mathrm {Y} }}=(x-y){\sqrt {a+\mathrm {U} }},$

où $a$ est la constante arbitraire, et

$\mathrm {U} =\mathrm {D} (x+y)+\mathrm {E} (x+y)^{2}.$

Faisant d’abord varier $y$ et $a,$ et ensuite $x$ et $a$ à la fois, et supposant, pour plus de simplicité,

${\frac {d\mathrm {X} }{dx}}=\mathrm {X} ',\quad {\frac {d\mathrm {Y} }{dy}}=\mathrm {Y} ',\quad {\frac {d\mathrm {U} }{dx}}={\frac {d\mathrm {U} }{dy}}=\mathrm {U} ',$

on aura

${\begin{aligned}{\frac {dy}{da}}=&{\frac {(x-y){\sqrt {\mathrm {Y} }}}{\mathrm {Y} '{\sqrt {a+\mathrm {U} }}-\left[\mathrm {U} '(x-y)+2(a+\mathrm {U} )\right]{\sqrt {\mathrm {Y} }}}}\\{\frac {dx}{da}}=&{\frac {(x-y){\sqrt {\mathrm {X} }}}{\mathrm {X} '{\sqrt {a+\mathrm {U} }}-\left[\mathrm {U} '(x-y)+2(a+\mathrm {U} )\right]{\sqrt {\mathrm {X} }}}}.\end{aligned}}$

Les équations ${\frac {dy}{da}}=0$ et ${\frac {dx}{da}}=0$ donnent d’abord la même équation

$x-y=0,$

laquelle, ne contenant point la quantité $a,$ peut être ou n’être pas une intégrale particulière. Pour pouvoir en juger, je reprends l’intégrale complète, et j’en tire

$a={\frac {\mathrm {\left({\sqrt {X}}+{\sqrt {Y}}\right)} ^{2}}{(x-y)^{2}}}-\mathrm {U} ,$

1. Œuvres de Lagrange, t. II, p. 17.