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où l’on voit qu’en faisant $x=y,$ $a$ devient $=\infty$ par conséquent, l’équation $x-y=0$ n’est point une intégrale particulière, mais un cas de l’intégrale complète.

Rejetant donc le facteur $x-y,$ l’équation ${\frac {dy}{da}}=0$ donne encore $\mathrm {Y} =0\,;$ mais, comme le dénominateur de la fraction se réduit alors à $\mathrm {Y} '{\sqrt {a+\mathrm {U} }},$ qui devient aussi nul lorsque $\mathrm {Y} '$ est en même temps égal à zéro, il s’ensuit que l’équation $\mathrm {Y} =0$ peut être une intégrale particulière, pourvu que $\mathrm {Y} '$ ne soit pas à la fois égal à zéro. De même, l’équation ${\frac {dx}{da}}=0$ donnera $\mathrm {X} =0,$ pourvu que $\mathrm {X} '$ ne soit pas en même temps égal à zéro. Or il est clair, par l’expression de $a$ trouvée ci-dessus, que la valeur de $a$ ne devient point constante par la supposition de $\mathrm {Y} =0,$ ni par celle de $\mathrm {X} =0.$ Donc on peut conclure que les équations $\mathrm {Y} =0$ et $\mathrm {X} =0$ seront deux intégrales particulières de la proposée, pourvu que l’on n’ait pas en même temps $\mathrm {Y} '=0$ et $\mathrm {X} '=0\,;$ ainsi donc les intégrales particulières de l’équation dont il s’agit seront toutes comprises sous cette forme

$x=u\quad {\text{ou}}\quad y=u,$

en prenant pour $u$ une des racines simples quelconques de l’équation

$\mathrm {A} +\mathrm {B} u+\mathrm {C} u^{2}+\mathrm {D} u^{3}+\mathrm {E} u^{4}=0.$

Si l’équation proposée était

${\frac {dx}{\sqrt {\mathrm {X} }}}+{\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {Y} }}}=0,$

l’intégrale complète serait

${\sqrt {\mathrm {X} }}-{\sqrt {\mathrm {Y} }}=(x-y){\sqrt {a+\mathrm {U} }}\,;$

d’où l’on tirerait les mêmes valeurs de ${\frac {dy}{da}}$ et ${\frac {dx}{da}}$ que ci-dessus, à l’exception que dans la première le radical ${\sqrt {\mathrm {Y} }}$ y serait avec un signe différent.