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11. Nous avons remarqué ci-dessus que la solution précédente donne, en général, une expression finie de $y_{x,t},$ lorsque $\mathrm {C} '=0$ ou $\mathrm {B} '=0\,;$ examinons donc d’abord ces deux cas.

1^o Soit $\mathrm {C} '=0\,;$ alors l’équation différentielle (F) n’aura que trois termes et sera du premier ordre. Et si l’on fait, pour abréger,

$-\mathrm {\frac {B}{B'}} =p,\quad \mathrm {\frac {A}{B}} =q,$

on aura

$-\mathrm {\frac {A+B\alpha }{B'}} =p\alpha \left(1+{\frac {q}{\alpha }}\right),$

ce qui étant élevé à la puissance $t$ et ensuite comparé à la formule générale $\mathrm {T} \alpha ^{\mu t}+\mathrm {T} '\alpha ^{\mu t-1}+\ldots ,$ donnera

$\mu =1,\quad \mathrm {T} =p^{t},\quad \mathrm {T} '=tp^{t}q,\quad \mathrm {T} ''={\frac {t(t-1)}{2}}p^{t}q^{2},\ldots .$

Donc (8)

$y_{x,t}=p^{t}\left[y_{x+t,0}+tqy_{x+t-1,0}+{\frac {t(t-1)}{2}}q^{2}y_{x+t-2,0}+\ldots \right].$

On voit ici non-seulement que la série est toujours finie lorsque $t$ est un nombre entier positif, mais encore qu’elle ne contient que des quantités de la forme $y_{s,0},$ $s$ étant positif ; d’où il s’ensuit que dans ce cas il suffit que le premier rang horizontal de la Table du n^o 6 soit donné, pour qu’on puisse déterminer la valeur de $q$uelque terme que ce soit de la même Table.

2^o Supposons que l’on ait $\mathrm {B} '=0\,;$ l’équation différentielle n’aura aussi que trois termes, mais elle sera du second ordre. Faisant dans ce cas

$-\mathrm {\frac {B}{C'}} =p,\quad \mathrm {\frac {A}{B}} =q,$

on aura

$-\mathrm {\frac {A+B\alpha }{C'\alpha }} =p\left(1+{\frac {q}{\alpha }}\right)\,;$

élevant cette quantité à la puissance $t,$ et comparant avec la formule gé-