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nérale, on aura $\mu =0,$ et les valeurs de $\mathrm {T,T',T''} ,\ldots$ seront les mêmes que dans le cas précédent.

Ainsi on aura

$y_{x,t}=p^{t}\left[y_{x,0}+tqy_{x-1,0}+{\frac {t(t-1)}{2}}q^{2}y_{x-2,0}+\ldots \right].$

Cette expression est toujours finie tant que $t$ est un nombre entier positif mais, lorsque $t$ est $>x,$ elle contient nécessairement des quantités telles que $y_{s,0},$ $s$ étant négatif. Ainsi il ne suffira pas, dans ce cas, que le premier rang horizontal de la Table du n^o 6 soit donné, il faudra encore supposer donnés les termes précédents $y_{-1,0},y_{-2,0},\ldots .$ Si l’on ne connaît pas ces termes, mais que l’on connaisse ceux qui forment le premier rang vertical de la Table, on pourra alors déduire ceux-là de ceux-ci de la manière suivante.

Je fais $x=0$ et $t$ successivement $=1,2,3,\ldots \,;$ j’aurai

${\begin{aligned}y_{0,1}&=p\ \ \left(y_{0,0}+qy_{-1,0}\right),\\y_{0,2}&=p^{2}\left(y_{0,0}+2qy_{-1,0}+q^{2}y_{-2,0}\right),\\y_{0,3}&=p^{3}\left(y_{0,0}+3qy_{-1,0}+3q^{2}y_{-2,0}+q^{3}y_{-3,0}\right),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

d’où il est facile de tirer

${\begin{aligned}q\ \ y_{-1,0}=&{\frac {1}{p}}\ \ y_{0,1}-y_{0,0},\\q^{2}y_{-2,0}=&{\frac {1}{p^{2}}}y_{0,2}-{\frac {2}{p}}\ \,y_{0,1}+y_{0,0},\\q^{3}y_{-3,0}=&{\frac {1}{p^{3}}}y_{0,3}-{\frac {3}{p^{2}}}y_{0,2}+{\frac {3}{p}}y_{0,1}-y_{0,0},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et, en général,

$q^{s}y_{-s,0}={\frac {1}{p^{s}}}y_{0,s}-{\frac {s}{p^{s-1}}}y_{0,s-1}+{\frac {s(s-1)}{2p^{s-2}}}y_{0,s-2}-\ldots .$