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Je conclus de là que, si l’on considère ces deux séries

${\begin{array}{llll}y_{0,0},&{\cfrac {1}{q}}y_{1,0},&{\cfrac {1}{q^{2}}}y_{2,0},&{\cfrac {1}{q^{3}}}y_{3,0},\ldots ,\\y_{0,0},&{\cfrac {1}{p}}y_{0,1},&{\cfrac {1}{p^{2}}}y_{0,2},&{\cfrac {1}{p^{3}}}y_{0,3},\ldots ,\end{array}}$

qui sont supposées données, et qu’on dénote pour plus de simplicité les termes de la première par

$\mathrm {Y,Y_{1},Y_{2},Y_{3}} ,\ldots ,$

et ceux de la seconde par

$\mathrm {Y,Y',Y'',Y'''} ,\ldots \,;$

qu’ensuite on prenne les différences successives des termes de cette dernière, lesquelles soient dénotées par la caractéristique $\Delta ,$ en sorte que l’on ait ; comme on sait,

${\begin{aligned}&\Delta \ \ \mathrm {Y=Y'\ \ -Y} ,\\&\Delta ^{2}\mathrm {Y=Y''\ -2Y'\ +Y} ,\\&\Delta ^{3}\mathrm {Y=Y'''-3Y''+3Y'-Y} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

qu’on suppose enfin que la première suite soit continuée en arrière par les termes

$\mathrm {Y_{-1},\ \ Y_{-2},\ \ Y_{-3}} ,\ldots ,$

lesquels soient respectivement égaux à

$\Delta \mathrm {Y} ,\ \ \Delta ^{2}\mathrm {Y} ,\ \ \Delta ^{3}\mathrm {Y} ,\ldots ,$

en sorte que l’on ait, en général,

$\mathrm {Y} _{-1}=\Delta ^{s}\mathrm {Y} \,;$

on aura la formule

$y_{x,t}=(pq)^{t}\left[\mathrm {Y} _{x}+t\mathrm {Y} _{x-1}+{\frac {t(t-1)}{2}}\mathrm {Y} _{x-2}+{\frac {t(t-1)(t-2)}{2.3}}\mathrm {Y} _{x-3}+\ldots \right],$

dans laquelle toutes les quantités $\mathrm {Y} _{x},\mathrm {Y} _{x-1},\ldots$ seront connues.