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Faisons successivement

$t=0,1,2,3,\ldots ,$

on aura

${\begin{aligned}y_{0,0}&=f(0),\\y_{0,1}&=p\ \ \left[f(0)+qf(-1)\right],\\y_{0,2}&=p^{2}\left[f(0)+2qf(-1)+q^{2}f(-2)\right],\\y_{0,3}&=p^{3}\left[f(0)+3qf(-1)+3q^{2}f(-2)+q^{3}f(-3)\right],\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}f(0)=y_{0,0},&\\q\ \ f(-1)&={\frac {1}{p}}\ \ y_{0,1}-y_{0,0},\\q^{2}f(-2)&={\frac {1}{p^{2}}}y_{0,2}-{\frac {2}{p}}\ \ y_{0,1}+y_{0,0},\\q^{3}f(-3)&={\frac {1}{p^{3}}}y_{0,3}-{\frac {3}{p^{2}}}y_{0,2}+{\frac {3}{p}}y_{0,1}-y_{0,0},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

donc si l’on considère la série

$y_{0,0},\quad {\frac {1}{p}}y_{0,1},\quad {\frac {1}{p^{2}}}y_{0,2},\quad {\frac {1}{p^{3}}}y_{0,3},\ldots ,$

et qu’on désigne les termes de cette série par $\mathrm {Y} ,\ {\grave {\,}}\mathrm {Y} ,\ {\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\mathrm {Y} ,\ {\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\mathrm {Y} ,\ldots$ qu’ensuite on prenne les différences successives de ces termes et qu’on les désigne par la caractéristique $\delta ,$ on aura

$f(0)=\mathrm {Y} ,\ \ f(-1)={\frac {\delta \mathrm {Y} }{q}},\ \ f(-2)={\frac {\delta ^{2}\mathrm {Y} }{q^{2}}},\ \ f(-3)={\frac {\delta ^{3}\mathrm {Y} }{q^{3}}},\ldots ,f(-s)={\frac {\delta ^{s}\mathrm {Y} }{q^{s}}}.$

Ainsi l’on connaîtra les valeurs de $f(s),$ soit que $s$ soit positif ou négatif ; et l’on aura, en général, comme ci-dessus,

$y_{x,t}=\mathrm {V} f(x)+\mathrm {V} 'f(x-1)+\mathrm {V} ''f(x-2)+\ldots .$