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${\begin{aligned}f(0)&=y_{0,0},\\{\frac {1}{n}}\ \ f(1)&={\frac {1}{mn}}\quad y_{1,0}-y_{0,0},\\{\frac {1}{n^{2}}}f(2)&={\frac {1}{m^{2}n^{2}}}y_{2,0}-{\frac {2}{mn}}\quad y_{1,0}+y_{0,0},\\{\frac {1}{n^{3}}}f(3)&={\frac {1}{m^{3}n^{3}}}y_{3,0}-{\frac {3}{m^{2}n^{2}}}y_{2,0}+{\frac {2}{mn}}y_{1,0}-y_{0,0},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

D’où l’on peut conclure que, si l’on considère la série des termes

$y_{0,0},\quad {\frac {1}{mn}}y_{1,0},\quad {\frac {1}{m^{2}n^{2}}}y_{2,0},\quad {\frac {1}{m^{3}n^{3}}}y_{3,0},\ldots ,$

et qu’on les désigne par $\mathrm {Y,Y',Y'',Y'''} ,\ldots ,$ qu’ensuite on prenne les différences successives de ces termes et qu’on les désigne à la manière ordinaire par la caractéristique $\Delta ,$ on aura

$f(0)=\mathrm {Y} ,\ \ f(1)=n\Delta \mathrm {Y} ,\ \ f(2)=n^{2}\Delta ^{2}\mathrm {Y} ,\ \ f(3)=n^{3}\Delta ^{3}\mathrm {Y} ,\ldots ,f(s)=n^{s}\Delta ^{s}\mathrm {Y} .$

2^o Soit $x=0,$ et faisant, pour abréger,

$-\mathrm {\frac {B}{C'}} =p,\quad \mathrm {B'-{\frac {AC'}{B}}} =q,$

en sorte que

$\beta =p\left(1+{\frac {q}{\omega }}\right),$

et par conséquent

$\beta '=p^{t}\left[1+{\frac {tq}{\omega }}+{\frac {t(t-1)q^{2}}{2\omega ^{2}}}+{\frac {t(t-1)(t-2)q^{3}}{2.3.\omega ^{3}}}+\ldots \right],$

on aura

$\mathrm {V} =p^{t},\quad \mathrm {V} '=tqp^{t},\quad \mathrm {V} ''={\frac {t(t-1)}{2}}q^{2}p^{t},\ldots \,;$

donc

$y_{0,t}=p^{t}\left[f(0)+tqf(-1)+{\frac {t(t-1)}{2}}q^{2}f(-2)+\ldots \right].$