Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/181

Ensuite la série $\mathrm {Y,Y',Y''} ,\ldots$ deviendra $y_{0,0},y_{1,0},y_{2,0},\ldots ,$ de sorte qu’on aura, en général,

$f(s)=\Delta ^{s}y_{0,0},$

$s$ étant un nombre positif. Enfin, à cause de $p=0,\ q=\infty$ et $pq=1,$ on trouvera

$f(0)=y_{0,0},\quad f(-1)=-y_{0,1},\quad f(-2)=y_{0,2},\ldots \quad f(-s)=\pm y_{0,s}\,;$

le signe supérieur étant pour le cas de $s$ pair, et l’inférieur pour celui de $s$ impair.

Substituant donc ces valeurs dans l’expression générale de $y_{x,t},$ on aura

$y_{x,t}=m^{x}\left\{{\begin{aligned}&\Delta ^{x-t}y_{0,0}+x\Delta ^{x-t-1}y_{0,0}+{\frac {x(x-1)}{2}}\Delta ^{x-t-2}y_{0,0}+\ldots \\&\qquad \qquad \qquad +{\frac {x(x-1)(x-2)\ldots (t+1)}{1.2.3\ldots (x-t)}}y_{0,0}\\&-{\frac {x(x-1)(x-2)\ldots t}{1.2.3\ldots (x-t+1)}}y_{0,1}+{\frac {x(x-1)\ldots (t-1)}{1.2\ldots (x-t+2)}}y_{0,2}\\&\qquad \qquad \qquad -{\frac {x(x-1)\ldots (t-2)}{1.2\ldots (x-t+3)}}y_{0,3}+\ldots \end{aligned}}\right\},$

où les différences $\Delta y_{0,0},\Delta ^{2}y_{0,0},\ldots$ se rapportent uniquement aux termes du premier rang horizontal $y_{0,0},y_{1,0},y_{2,0},\ldots ,$ en sorte que

$\Delta y_{0,0}=y_{1,0}-y_{0,0},\quad \Delta ^{2}y_{0,0}=y_{2,0}-2y_{1,0}+y_{0,0},\ldots .$

Par le moyen de cette formule on peut donc avoir la valeur d’un terme quelconque de la Table de Pascal, en supposant que dans cette Table le premier rang horizontal et le premier rang vertical soient quelconques.

Dans la Table même de Pascal, le premier rang horizontal est tout formé d’unités, et le premier rang vertical est tout zéro à l’exception du premier terme, en sorte que l’on a

${\begin{array}{lll}y_{0,0}=1,&y_{1,0}=1,&y_{2,0}=1\ldots ,\\y_{0,1}=0,&y_{0,2}=0,&\ldots \,;\end{array}}$

donc

$\Delta y_{0,0}=0,\quad \Delta ^{2}y_{0,0}=0,\ldots .$