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Ainsi la formule précédente deviendra dans ce cas

$y_{x,t}={\frac {x(x-1)(x-2)\ldots (t+1)}{1.2.3\ldots (x-t)}}\,;$

ce qui s’accorde avec ce que l’on a trouvé à la fin du n^o 10.

15. Soit proposée maintenant l’équation générale du second ordre

(G)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {A} y_{x,t}+\mathrm {B} \ y_{x+1,t}&+\mathrm {C} \ \ y_{x+2,t}\\+\mathrm {B} 'y_{x,t+1}&+\mathrm {C} '\ y_{x+1,t+1}\\&+\mathrm {C} ''y_{x,t+2}\end{aligned}}\right\}=0.$

Je fais, comme ci-dessus,

$y_{x,t}=a\alpha ^{x}\beta ^{t}\,;$

substituant et divisant ensuite tous les termes par $a\alpha ^{x}\beta ^{t},$ il me vient cette équation en $\alpha$ et $\beta$

(H)

$\mathrm {A+B\alpha +B'\beta +C\alpha ^{2}+C'\alpha \beta +C''\beta ^{2}} =0,$

par laquelle on pourra déterminer $\beta$ en $\alpha .$

Je cherche donc par la méthode connue de Newton la valeur de $e$n, exprimée par une série descendante, c’est-à-dire dans laquelle les exposants de $\alpha$ aillent en diminuant. J’élève ensuite cette série à la puissance $t$ au moyen des formules connues pour cet objet ; j’obtiens par là une valeur de $\beta ^{t}$ en $\alpha$ de la forme suivante

$\beta ^{t}=\mathrm {T} \alpha ^{\mu t}+\mathrm {T} '\alpha ^{\mu t-\mu '}+\mathrm {T} ''\alpha ^{\mu t-\mu ''}+\mathrm {T} '''\alpha ^{\mu t-\mu '''}+\ldots ,$

où les nombres $\mu ',\mu '',\mu ''',\ldots$ seront nécessairement tous positifs et croissants.

Donc, substituant cette valeur de $\beta ^{t},$ on aura cette expression particulière de $y_{x,t},$ savoir

$y_{x,t}=\mathrm {T} a\alpha ^{x+\mu t}+\mathrm {T} 'a\alpha ^{x+\mu t-\mu '}+\mathrm {T} ''a\alpha ^{x+\mu t-\mu ''}+\ldots ,$

dans laquelle $a$ et $\alpha$ seront des constantes indéterminées.