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De là, par un raisonnement semblable à celui du n^o 7, on tirera immédiatement l’expression générale

$y_{x,t}=\mathrm {T} f(x+\mu t)+\mathrm {T} 'f(x+\mu t-\mu ')+\mathrm {T} ''f(x+\mu t-\mu '')+\ldots ,$

la caractéristique $f$ dénotant une fonction quelconque indéterminée.

Or, tant que $\mathrm {C} ''$ ne sera pas nul, l’équation en $\beta$ montera au second degré et aura par conséquent deux racines ; on aura donc pour $\beta ,$ et par conséquent aussi pour $\beta ^{t},$ deux séries différentes ; donc, si l’autre valeur de $\beta ^{t}$ est représentée par la série

$\beta ^{t}=\mathrm {U} \alpha ^{\nu t}+\mathrm {U} '\alpha ^{\nu t-\nu '}+\mathrm {U} ''\alpha ^{\nu t-\nu ''}+\mathrm {U} '''\alpha ^{\nu t-\nu '''}+\ldots ,$

les nombres $\nu ',\nu '',\nu ''',\ldots$ étant aussi positifs et croissants, on en tirera pareillement une valeur de $y_{x,t},$ qui sera

$y_{x,t}=\mathrm {U} \varphi (x+\nu t)+\mathrm {U} '\varphi (x+\nu t-\nu ')+\mathrm {U} ''\varphi (x+\nu t-\nu '')+\ldots ,$

la caractéristique $\varphi$ désignant aussi une fonction quelconque indéterminée.

Réunissant maintenant ces deux valeurs de $y_{x,t},$ on aura, en général,

${\begin{aligned}y_{x,t}&=\mathrm {T} f(x+\mu t)+\mathrm {T} 'f(x+\mu t-\mu ')+\mathrm {T} ''f(x+\mu t-\mu '')+\ldots ,\\&+\mathrm {U} \varphi (x+\nu t)+\mathrm {U} '\varphi (x+\nu t-\nu ')+\mathrm {U} ''\varphi (x+\nu t-\nu '')+\ldots ,\end{aligned}}$

expression qui est nécessairement l’intégrale complète de la proposée, puisqu’elle contient deux fonctions indéterminées.

16. Il est clair que cette expression de $y_{x,t}$ sera toujours composée d’un nombre infini de termes, à moins que les deux valeurs de $\beta$ en $\alpha$ ne soient finies ; ce qui n’a lieu que lorsque l’équation (H) peut se décomposer en deux équations du premier degré. Dans ce cas on aura pour $y_{x,t}$ une expression finie, et par conséquent on aura l’intégrale finie de l’équation différentielle proposée. Mais il peut arriver dans ce même cas que les deux valeurs de $\beta$ en $\alpha$ soient égales ; ce qui donnera

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {U} =&\mathrm {T} ,\qquad &\mathrm {U} '=&\mathrm {T} ',\ldots ,\\\nu =&\mu ,&\nu '=&\mu ',\ldots ,\end{alignedat}}$